ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\mathrm{tg}\frac{\pi }{5}\cdot \mathrm{ctg}\frac{\pi }{5}$

б) $3\mathrm{tg}2,3\cdot \mathrm{ctg}2,3$

в) $\mathrm{tg}\frac{\pi }{7}\cdot \mathrm{ctg}\frac{\pi }{7}$

г) $7\mathrm{tg}\frac{\pi }{12}\cdot \mathrm{ctg}\frac{\pi }{12}$

Вычислить значение:

а) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{5} = \frac{\sin \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}} \cdot \frac{\cos \frac{\pi}{5}}{\sin \frac{\pi}{5}} = 1$;

Ответ: 1.

б) $3 \operatorname{tg} 2,3 \cdot \operatorname{ctg} 2,3 = 3 \cdot \frac{\sin 2,3}{\cos 2,3} \cdot \frac{\cos 2,3}{\sin 2,3} = 3 \cdot 1 = 3$;

Ответ: 3.

в) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{7} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{7} = \frac{\sin \frac{\pi}{7}}{\cos \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{\cos \frac{\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}} = 1$;

Ответ: 1.

г) $7 \operatorname{tg} \frac{\pi}{12} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{12} = 7 \cdot \frac{\sin \frac{\pi}{12}}{\cos \frac{\pi}{12}} \cdot \frac{\cos \frac{\pi}{12}}{\sin \frac{\pi}{12}} = 7 \cdot 1 = 7$;

Ответ: 7.

По определению

$$\operatorname{tg} x=\frac{\sin x}{\cos x}\quad(\cos x\ne 0),\qquad \operatorname{ctg} x=\frac{\cos x}{\sin x}\quad(\sin x\ne 0).$$

Тогда при $\sin x\ne 0$ и $\cos x\ne 0$:

$$\operatorname{tg} x\cdot \operatorname{ctg} x =\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{\cos x}{\sin x} =\frac{\sin x\cdot \cos x}{\cos x\cdot \sin x}=1.$$

То есть $\operatorname{tg}x\cdot\operatorname{ctg}x=1$ для всех $x$, где обе функции определены.
Область допустимых значений (ОДЗ) для произведения: $\sin x\neq 0$ и $\cos x\neq 0$, т.е. $x\neq k\frac{\pi}{2}$ для любого целого $k$ (запрещены все кратные $\frac{\pi}{2}$: $\ldots,-\pi,-\frac{\pi}{2},0,\frac{\pi}{2},\pi,\ldots$).

Дальше в каждом подпункте:

убеждаемся, что угол не попадает в запрещённые значения;

применяем тождество $\operatorname{tg}x\cdot\operatorname{ctg}x=1$;

если есть числовой множитель, умножаем на 1.

а)

Выражение: $\operatorname{tg}\frac{\pi}{5}\cdot \operatorname{ctg}\frac{\pi}{5}$.

ОДЗ: $\frac{\pi}{5}$ не является кратным $\frac{\pi}{2}$ (потому что $\frac{\pi}{5} : \frac{\pi}{2}=\frac{2}{5}$ — нецелое). Значит, $\sin\frac{\pi}{5}\neq 0$ и $\cos\frac{\pi}{5}\neq 0$; обе функции определены.

Применяем определения:

$$\operatorname{tg}\frac{\pi}{5}\cdot \operatorname{ctg}\frac{\pi}{5} =\frac{\sin\frac{\pi}{5}}{\cos\frac{\pi}{5}}\cdot \frac{\cos\frac{\pi}{5}}{\sin\frac{\pi}{5}}=1.$$

Ответ: 1.

б)

Выражение: $3\,\operatorname{tg}(2{,}3)\cdot \operatorname{ctg}(2{,}3)$ (угол в радианах).

ОДЗ: проверяем, что $2{,}3$ не кратно $\frac{\pi}{2}\approx 1{,}5708$.
$\frac{2{,}3}{\pi/2}\approx \frac{2{,}3}{1{,}5708}\approx 1{,}465$ — нецелое. Следовательно, $\sin 2{,}3\neq 0$ и $\cos 2{,}3\neq 0$; обе функции определены.

Применяем тождество:

$$\operatorname{tg}(2{,}3)\cdot \operatorname{ctg}(2{,}3)=1.$$

Учитываем множитель 3:

$$3\cdot\bigl(\operatorname{tg}(2{,}3)\cdot \operatorname{ctg}(2{,}3)\bigr) =3\cdot 1=3.$$

Ответ: 3.

в)

Выражение: $\operatorname{tg}\frac{\pi}{7}\cdot \operatorname{ctg}\frac{\pi}{7}$.

ОДЗ: $\frac{\pi}{7}$ не кратно $\frac{\pi}{2}$ (отношение $\frac{\pi}{7} : \frac{\pi}{2}=\frac{2}{7}$ — нецелое). Значит, $\sin\frac{\pi}{7}\neq 0$ и $\cos\frac{\pi}{7}\neq 0$.

Сверяемся с тождеством:

$$\operatorname{tg}\frac{\pi}{7}\cdot \operatorname{ctg}\frac{\pi}{7} =\frac{\sin\frac{\pi}{7}}{\cos\frac{\pi}{7}}\cdot \frac{\cos\frac{\pi}{7}}{\sin\frac{\pi}{7}}=1.$$

Ответ: 1.

г)

Выражение: $7\,\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}\cdot \operatorname{ctg}\frac{\pi}{12}$.

ОДЗ: $\frac{\pi}{12}$ не кратно $\frac{\pi}{2}$ (отношение $\frac{\pi}{12} : \frac{\pi}{2}=\frac{1}{6}$ — нецелое). Следовательно, $\sin\frac{\pi}{12}\neq 0$ и $\cos\frac{\pi}{12}\neq 0$.

Тождество:

$$\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}\cdot \operatorname{ctg}\frac{\pi}{12}=1.$$

Учитываем множитель 7:

$$7\cdot 1=7.$$

Ответ: 7.