ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $\sin t \cdot \operatorname{ctg} t = \cos t$;

б) $\frac{\sin t}{\operatorname{tg} t} = \cos t$;

в) $\operatorname{ctg} t \cdot \operatorname{tg} t = \sin t$;

г) $\frac{\cos t}{\operatorname{ctg} t} = \sin t$

Доказать тождество:

а) $\sin t \cdot \operatorname{ctg} t = \cos t$;

$$\sin t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} = \cos t;$$ $$\cos t = \cos t;$$

Тождество доказано.

б) $\frac{\sin t}{\operatorname{tg} t} = \cos t$;

$$\sin t : \frac{\sin t}{\cos t} = \cos t;$$ $$\sin t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} = \cos t;$$ $$\cos t = \cos t;$$

Тождество доказано.

в) $\operatorname{ctg} t \cdot \operatorname{tg} t = \sin t$;

$$\frac{\cos t}{\sin t} \cdot \frac{\sin t}{\cos t} = \sin t;$$ $$1 = \sin t;$$

Тождество не выполняется.

г) $\frac{\cos t}{\operatorname{ctg} t} = \sin t$;

$$\cos t : \frac{\cos t}{\sin t} = \sin t;$$ $$\cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} = \sin t;$$ $$\sin t = \sin t;$$

Тождество доказано.

Напоминание определений и ОДЗ

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}\quad(\text{определена при } \cos t\neq0),\qquad \ctg t=\frac{\cos t}{\sin t}\quad(\text{определена при } \sin t\neq0).$$

Также верно (когда обе функции определены):

$$\tg t\cdot\ctg t=\frac{\sin t}{\cos t}\cdot\frac{\cos t}{\sin t}=1.$$

а) $\;\sin t\cdot\ctg t=\cos t$

ОДЗ левой части: $\ctg t$ существует, если $\sin t\neq0$ (то есть $t\neq \pi k,\;k\in\mathbb Z$).

Преобразуем:

$$\sin t\cdot\ctg t=\sin t\cdot\frac{\cos t}{\sin t}=\color{#666}{\cancel{\sin t}}\cdot\frac{\cos t}{\color{#666}{\cancel{\sin t}}}=\cos t.$$

Сокращение на $\sin t$ допустимо именно при $\sin t\neq0$ — это и есть ОДЗ.
Вывод: тождество верно для всех $t$, где определена левая часть, то есть для $t\neq \pi k$.

б) $\;\dfrac{\sin t}{\tg t}=\cos t$

ОДЗ: знаменатель $\tg t$ должен существовать и не равняться нулю.

1. $\tg t$ существует при $\cos t\neq0$ (то есть $t\neq \tfrac{\pi}{2}+\pi k$).
2. $\tg t\neq0 \iff \sin t\neq0$ (так как $\tg t=\sin t/\cos t$).
   Итого: нужно одновременно $\sin t\neq0$ и $\cos t\neq0$.

Преобразуем:

$$\frac{\sin t}{\tg t}=\sin t:\frac{\sin t}{\cos t}=\sin t\cdot\frac{\cos t}{\sin t} =\color{#666}{\cancel{\sin t}}\cdot\frac{\cos t}{\color{#666}{\cancel{\sin t}}}=\cos t.$$

Сокращение на $\sin t$ правомерно при $\sin t\neq0$, а использование $\tg t$ — при $\cos t\neq0$.
Вывод: тождество верно для всех $t$, где $\sin t\neq0$ и $\cos t\neq0$ (то есть $t\notin\{\pi k,\ \tfrac{\pi}{2}+\pi k\}$).

в) $\;\ctg t\cdot\tg t=\sin t$

Слева произведение взаимно обратных функций (когда обе определены):

$$\ctg t\cdot\tg t=\frac{\cos t}{\sin t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t}=1,$$

поэтому исходное равенство эквивалентно

$$1=\sin t.$$

Почему это не тождество.
Чтобы равенство было тождественным, оно должно выполняться при всех $t$ из общей области определения левой и правой частей. Для левой части нужно $\sin t\neq0$ и $\cos t\neq0$. На этом множестве $\ctg t\cdot\tg t\equiv1$, а $\sin t$ принимает значения в $(-1,1)$ и никогда не равна 1 (значение $\sin t=1$ достигается только при $t=\frac{\pi}{2}+2\pi k$, где $\cos t=0$ и левая часть вообще не определена). Значит равенство не может быть тождественным.

Контрпример: возьмём $t=\frac{\pi}{6}$ (здесь обе функции определены). Тогда

$$\ctg t\cdot\tg t=1,\qquad \sin t=\frac{1}{2}.$$

$1\neq \frac{1}{2}$, следовательно тождество ложно.

Верное тождество: $\boxed{\ctg t\cdot\tg t=1}$ (при $\sin t\neq0,\ \cos t\neq0$).

г) $\;\dfrac{\cos t}{\ctg t}=\sin t$

ОДЗ: $\ctg t$ должна существовать и быть $\neq0$.

1. $\ctg t$ существует при $\sin t\neq0$ (то есть $t\neq \pi k$).
2. $\ctg t\neq0 \iff \cos t\neq0$ (так как $\ctg t=\cos t/\sin t$).
   Итого: одновременно $\sin t\neq0$ и $\cos t\neq0$.

Преобразуем:

$$\frac{\cos t}{\ctg t}=\cos t:\frac{\cos t}{\sin t} =\cos t\cdot\frac{\sin t}{\cos t} =\color{#666}{\cancel{\cos t}}\cdot\frac{\sin t}{\color{#666}{\cancel{\cos t}}} =\sin t.$$

Сокращение на $\cos t$ корректно при $\cos t\neq0$.
Вывод: тождество верно для всех $t$, где $\sin t\neq0$ и $\cos t\neq0$.

Итог:

а) верно на $t\neq \pi k$;

б) верно на $t\notin\{\pi k,\ \tfrac{\pi}{2}+\pi k\}$;

в) ложно (правильно: $\ctg t\cdot\tg t=1$ при $\sin t\neq0,\ \cos t\neq0$);

г) верно на $t\notin\{\pi k,\ \tfrac{\pi}{2}+\pi k\}$.