ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

а) $\sin^2 t — \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{3}$;

б) $\sin^2 t + \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{4}$;

в) $\sin^2 t — \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{4}$;

г) $\sin^2 t + \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{6}$

Найти значение выражения:

а) $\sin^2 t — \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{3}$;

$$\sin^2 t — \cos^2 t = \sin^2 \frac{\pi}{3} — \cos^2 \frac{\pi}{3} = \frac{3}{4} — \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = 0,5;$$

Ответ: 0,5.

б) $\sin^2 t + \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{4}$;

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1;$$

Ответ: 1.

в) $\sin^2 t — \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{4}$;

$$\sin^2 t — \cos^2 t = \sin^2 \frac{\pi}{4} — \cos^2 \frac{\pi}{4} = \frac{2}{4} — \frac{2}{4} = 0;$$

Ответ: 0.

г) $\sin^2 t + \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{6}$;

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1;$$

Ответ: 1.

а) $\sin^2 t — \cos^2 t$ при $t=\dfrac{\pi}{3}$

Шаг 1. Вспоминаем значения синуса и косинуса для $60^\circ$ $(\pi/3)$:

$$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}.$$

Шаг 2. Возводим в квадрат каждое значение:

$$\sin^2\frac{\pi}{3}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{3}{4},\qquad \cos^2\frac{\pi}{3}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}.$$

Шаг 3. Вычисляем разность:

$$\sin^2\frac{\pi}{3}-\cos^2\frac{\pi}{3}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0{,}5.$$

Проверка через формулу двойного угла. Из $\cos 2t=\cos^2 t-\sin^2 t$ следует

$$\sin^2 t-\cos^2 t=-\cos 2t.$$

Тогда при $t=\pi/3$:

$$-\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{3}\right)=-\cos\frac{2\pi}{3}=-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}=0{,}5.$$

Ответ: $0{,}5$.

б) $\sin^2 t + \cos^2 t$ при $t=\dfrac{\pi}{4}$

Ключевая тождественная формула (пифагорова):

$$\sin^2 t+\cos^2 t=1\quad \text{для любого } t.$$

Значение $t$ здесь не влияет на результат, но для полноты проверим численно.

Числовая проверка. Для $45^\circ$ $(\pi/4)$:

$$\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \sin^2\frac{\pi}{4}=\cos^2\frac{\pi}{4}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$

Сумма:

$$\sin^2\frac{\pi}{4}+\cos^2\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$$

Ответ: $1$.

в) $\sin^2 t — \cos^2 t$ при $t=\dfrac{\pi}{4}$

Способ 1. Прямой подсчёт.

$$\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \sin^2\frac{\pi}{4}=\cos^2\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$\sin^2\frac{\pi}{4}-\cos^2\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.$$

Способ 2. Через двойной угол.

$$\sin^2 t-\cos^2 t=-\cos 2t \Rightarrow \sin^2\frac{\pi}{4}-\cos^2\frac{\pi}{4}=-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=-0=0.$$

Ответ: $0$.

г) $\sin^2 t + \cos^2 t$ при $t=\dfrac{\pi}{6}$

Тождество снова то же:

$$\sin^2 t+\cos^2 t=1\quad \text{при любом } t.$$

Числовая проверка для $30^\circ$ $(\pi/6)$:

$$\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\Rightarrow \sin^2\frac{\pi}{6}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4},\qquad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \cos^2\frac{\pi}{6}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{3}{4}.$$

Сумма:

$$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1.$$

Ответ: $1$.

Итоги:

а) $0{,}5$;

б) $1$;

в) $0$;

г) $1$.