ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения:

а) $2 \sin t$;

б) $3 + 4 \cos t$;

в) $-3 \cos t$;

г) $3 — 5 \sin t$

Найти наименьшее и наибольшее значения выражения:

а) $2 \sin t$;

$$-1 \leq \sin t \leq 1;$$ $$-2 \leq 2 \sin t \leq 2;$$

Ответ: $-2; 2$.

б) $3 + 4 \cos t$;

$$-1 \leq \cos t \leq 1;$$ $$-4 \leq 4 \cos t \leq 4;$$ $$-1 \leq 3 + 4 \cos t \leq 7;$$

Ответ: $-1; 7$.

в) $-3 \cos t$;

$$-1 \leq \cos t \leq 1;$$ $$-3 \leq -3 \cos t \leq 3;$$

Ответ: $-3; 3$.

г) $3 — 5 \sin t$;

$$-1 \leq \sin t \leq 1;$$ $$-5 \leq -5 \sin t \leq 5;$$ $$-2 \leq 3 — 5 \sin t \leq 8;$$

Ответ: $-2; 8$.

Общий принцип (как быстро находить диапазон)

Для любого действительного $t$:

$$-1 \le \sin t \le 1, \qquad -1 \le \cos t \le 1.$$

Если $x\in[m,M]$ и мы умножаем на число $a$:

• при $a>0$: $[am,aM]$;
• при $a<0$: $[aM,am]$ (границы меняются местами, т.к. неравенства переворачиваются).

Если затем прибавляем число $b$, весь отрезок сдвигается: $[L,U]\mapsto[L+b,\,U+b]$.

Итого, для линейных выражений вида $a\sin t+b$ или $a\cos t+b$ диапазон всегда:

$$[a\cdot(-1)+b,\;a\cdot 1+b]=[\,b-|a|,\;b+|a|\,].$$

Равенства по краям достигаются при $\sin t=\pm1$ или $\cos t=\pm1$ соответственно.

а) $2\sin t$

Шаг 1. Базовая оценка: $-1\le \sin t\le 1$.

Шаг 2. Умножаем на $2>0$ (знак неравенств сохраняется):

$$-2\le 2\sin t\le 2.$$

Вывод диапазона. $\min= -2,\ \max=2.$

Где достигаются?

• $\min=-2$ при $\sin t=-1$, т.е. $t=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$ (или $t=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k$), $k\in\mathbb Z$.
• $\max=2$ при $\sin t=1$, т.е. $t=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

Ответ: $-2; 2$.

б) $3+4\cos t$

Шаг 1. Базовая оценка: $-1\le \cos t\le 1$.

Шаг 2. Умножаем на $4>0$:

$$-4\le 4\cos t\le 4.$$

Шаг 3. Прибавляем $3$ ко всем частям:

$$-1\le 3+4\cos t\le 7.$$

Вывод диапазона. $\min=-1,\ \max=7.$

Где достигаются?

• $\min=-1$ при $\cos t=-1$, т.е. $t=\pi+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$.
• $\max=7$ при $\cos t=1$, т.е. $t=2\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

Ответ: $-1; 7$.

в) $-3\cos t$

Шаг 1. Базовая оценка: $-1\le \cos t\le 1$.

Шаг 2. Умножаем на $-3<0$ (неравенства переворачиваются):

$$3\ \ge\ -3\cos t\ \ge\ -3.$$

Приводим к привычному возрастающему виду границ:

$$-3\le -3\cos t\le 3.$$

Вывод диапазона. $\min=-3,\ \max=3.$

Где достигаются?

• $\min=-3$ при $\cos t=1$, т.е. $t=2\pi k$, $k\in\mathbb Z$.
• $\max=3$ при $\cos t=-1$, т.е. $t=\pi+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

(Интуитивно: из-за минуса максимум получается при наименьшем $\cos t$, то есть $-1$.)

Ответ: $-3; 3$.

г) $3-5\sin t$

Это линейное выражение $b+ a\sin t$ с $a=-5$, $b=3$.

Шаг 1. Базовая оценка: $-1\le \sin t\le 1$.

Шаг 2. Умножаем на $-5<0$ (переворачиваем неравенства):

$$5\ \ge\ -5\sin t\ \ge\ -5.$$

Упорядочим по возрастанию:

$$-5\ \le\ -5\sin t\ \le\ 5.$$

Шаг 3. Прибавляем $3$:

$$-2\ \le\ 3-5\sin t\ \le\ 8.$$

Вывод диапазона. $\min=-2,\ \max=8.$

Где достигаются?

• $\min=-2$ при $\sin t=1$, т.е. $t=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$.
• $\max=8$ при $\sin t=-1$, т.е. $t=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$ (или $t=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k$), $k\in\mathbb Z$.

Ответ: $-2; 8$.