ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $\sin t = -\frac{1}{2}$;

в) $\cos t = -\frac{1}{2}$;

г) $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решить уравнение:

а) $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{4} \right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$t_2 = \frac{7\pi}{4} — 2\pi = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

б) $\sin t = -\frac{1}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{7\pi}{6} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{11\pi}{6} \right);$$

Ответ: $t_1 = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n; \, t_2 = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$.

в) $\cos t = -\frac{1}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{2\pi}{3} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{4\pi}{3} \right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$t_2 = \frac{4\pi}{3} — 2\pi = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

г) $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{3\pi}{4} \right);$$

Ответ: $t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n; \, t_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

а) $\cos t = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

1) Опорный угол.
Ищем угол $\alpha\in[0,\pi]$ такой, что $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Это классическое значение:

$$\alpha=\arccos\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4}.$$

2) Знаки и квадранты.
$\cos t>0$ в I и IV четвертях. Значит углы с таким косинусом — это:

• в I четверти: $t=\alpha=\dfrac{\pi}{4}$;
• в IV четверти: $t=2\pi-\alpha=2\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{4}$.

3) Обобщение до всех решений.
Добавляем период $2\pi n$:

$$t=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad\text{или}\quad t=\frac{7\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Заметим, что $\dfrac{7\pi}{4}=\,-\dfrac{\pi}{4}+2\pi$, поэтому это можно записать компактно:

$$\boxed{\,t=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\,}.$$

4) Быстрая проверка.
$\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,
$\cos\!\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\cos\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Ок.

б) $\sin t = -\dfrac{1}{2}$

1) Опорный угол.
Берём $\beta\in[0,\pi]$ с $\sin\beta=\dfrac{1}{2}$. Это:

$$\beta=\arcsin\!\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}.$$

2) Знаки и квадранты.
Нужен отрицательный синус. $\sin t<0$ в III и IV четвертях. Значит:

• в III четверти: $t=\pi+\beta=\pi+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6}$;
• в IV четверти: $t=2\pi-\beta=2\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{11\pi}{6}$.

(Эквивалентная общая формула для синуса: $t=\beta+2\pi n$ или $t=\pi-\beta+2\pi n$. При $\beta=\pi/6$ вторая даёт $t=\pi-\pi/6=5\pi/6$ — это положительный синус (II четверть), не подходит. Поэтому берём те, где синус отрицателен: $\pi+\beta$ и $2\pi-\beta$.)

3) Обобщение до всех решений.

$$\boxed{\,t=\frac{7\pi}{6}+2\pi n\quad \text{или}\quad t=\frac{11\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\,}.$$

4) Проверка.
$\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=\sin\!\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}$.
$\sin\!\left(\dfrac{11\pi}{6}\right)=\sin\!\left(2\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}$.

в) $\cos t = -\dfrac{1}{2}$

1) Опорный угол.
$\gamma\in[0,\pi]$ с $\cos\gamma=\dfrac{1}{2}$ — это:

$$\gamma=\arccos\!\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}.$$

2) Знаки и квадранты.
Нужен отрицательный косинус, а $\cos t<0$ во II и III четвертях. Значит:

• во II четверти: $t=\pi-\gamma=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$;
• в III четверти: $t=\pi+\gamma=\pi+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}$.

(Общая формула для косинуса: $t=2\pi n\pm\gamma$. При $\gamma=\pi/3$ это даёт $\pm\dfrac{\pi}{3}$ — положительный косинус (I и IV четверти), не подходит; именно поэтому берем $\pi\pm\gamma$, что и есть $\dfrac{2\pi}{3}$ и $\dfrac{4\pi}{3}$.)

3) Обобщение до всех решений.

$$t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \quad\text{или}\quad t=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Можно записать компактно:

$$\boxed{\,t=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\,},$$

потому что $\dfrac{4\pi}{3}=\,-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi$.

4) Проверка.
$\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$, $\cos\!\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$.

г) $\sin t = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

1) Опорный угол.
$\delta\in[0,\pi]$ с $\sin\delta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\delta=\arcsin\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4}.$$

2) Знаки и квадранты.
Нужен положительный синус, $\sin t>0$ в I и II четвертях:

• I четверть: $t=\delta=\dfrac{\pi}{4}$;
• II четверть: $t=\pi-\delta=\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}$.

3) Обобщение до всех решений.

$$\boxed{\,t=\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad \text{или}\quad t=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\,}.$$

4) Проверка.
$\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Итог:

а) $\displaystyle t=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$.

б) $\displaystyle t=\frac{7\pi}{6}+2\pi n$ или $\displaystyle t=\frac{11\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$.

в) $\displaystyle t=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$.

г) $\displaystyle t=\frac{\pi}{4}+2\pi n$ или $\displaystyle t=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$.