ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $\sin t = \sqrt{3}$;

в) $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $\cos t = -\frac{\pi}{3}$

Решить уравнение:

а) $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

Подходящие точки:
$M_1 \left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{4\pi}{3} \right);$
$M_2 \left( \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{5\pi}{3} \right);$

Ответ: $t_1 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n; \, t_2 = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.$

б) $\sin t = \sqrt{3}$;

$3 > 1;$
$\sqrt{3} > 1;$

Ответ: корней нет.

в) $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

Подходящие точки:
$M_1 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{6} \right);$
$M_2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{6} \right);$

Соответствующие числа:
$t_1 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$
$t_2 = \frac{7\pi}{6} — 2\pi = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$

Ответ: $t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$

г) $\cos t = -\frac{\pi}{3}$;

$\pi > 3;$
$-\pi < -3;$
$-\frac{\pi}{3} < -1;$

Ответ: корней нет.

Общие факты (что будем использовать)

1. Области значений
   $\sin t\in[-1,1]$, $\cos t\in[-1,1]$. Если справа число за пределами этого интервала — решений нет.
2. Периодичность
   $\sin(t+2\pi)=\sin t$, $\cos(t+2\pi)=\cos t$. Поэтому к любому частному решению можно прибавлять $2\pi n$.
3. Опорный (острый) угол
   Если $|\sin t|=\sin\alpha$ или $|\cos t|=\cos\alpha$ для некоторого $\alpha\in(0,\tfrac{\pi}{2})$, то $\alpha$ называют «опорным углом». Он помогает найти положения на окружности и выписать все решения.
4. Точные значения для стандартных углов

$$\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12,\quad \sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2},\qquad \cos\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt3}{2},\quad \cos\tfrac{\pi}{3}=\tfrac12.$$

а) $\;\sin t=-\dfrac{\sqrt3}{2}$

Шаг 1. Опорный угол.
$|\sin t|=\dfrac{\sqrt3}{2}=\sin\tfrac{\pi}{3}\Rightarrow \alpha=\tfrac{\pi}{3}\ (60^\circ).$

Шаг 2. Знаки по четвертям.
$\sin t<0$ в IV и III четвертях.

Шаг 3. Главные (базовые) решения на $[0,2\pi)$.

• В III четверти: $t=\pi+\alpha=\pi+\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{4\pi}{3}$.
• В IV четверти: $t=2\pi-\alpha=2\pi-\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{5\pi}{3}$.

Шаг 4. Обобщение периодичностью.

$$\boxed{\,t=\tfrac{4\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad t=\tfrac{5\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\, }$$

Проверка подстановкой.
$\sin\big(\tfrac{4\pi}{3}\big)=\sin\big(\pi+\tfrac{\pi}{3}\big)=-\sin\tfrac{\pi}{3}=-\tfrac{\sqrt3}{2}$.
$\sin\big(\tfrac{5\pi}{3}\big)=\sin\big(2\pi-\tfrac{\pi}{3}\big)=-\sin\tfrac{\pi}{3}=-\tfrac{\sqrt3}{2}$.

б) $\;\sin t=\sqrt3$

Шаг 1. Сравнение с областью значений.
$\sqrt3\approx1.732>1$, а $\sin t\in[-1,1]$.

Вывод.

$$\boxed{\,\text{Решений нет (корней нет).}\,}$$

в) $\;\cos t=-\dfrac{\sqrt3}{2}$

Шаг 1. Опорный угол.
$|\cos t|=\dfrac{\sqrt3}{2}=\cos\tfrac{\pi}{6}\Rightarrow \alpha=\tfrac{\pi}{6}\ (30^\circ).$

Шаг 2. Знаки по четвертям.
$\cos t<0$ во II и III четвертях.

Шаг 3. Главные решения на $[0,2\pi)$.

• Во II четверти: $t=\pi-\alpha=\pi-\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{5\pi}{6}$.
• В III четверти: $t=\pi+\alpha=\pi+\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{7\pi}{6}$.

Шаг 4. Обобщение периодичностью.
Классическая форма:

$$\boxed{\,t=\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad t=\tfrac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\, }$$

Эквивалентная «симметричная» запись:

$$\boxed{\,t=\pm\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\, }$$

(поскольку $-\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n$ даёт те же углы, что и $\tfrac{7\pi}{6}+2\pi(n-1)$).

Проверка подстановкой.
$\cos\big(\tfrac{5\pi}{6}\big)=\cos\big(\pi-\tfrac{\pi}{6}\big)=-\cos\tfrac{\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt3}{2}$.
$\cos\big(\tfrac{7\pi}{6}\big)=\cos\big(\pi+\tfrac{\pi}{6}\big)=-\cos\tfrac{\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt3}{2}$.

г) $\;\cos t=-\dfrac{\pi}{3}$

Шаг 1. Сравнение с областью значений.
$-\dfrac{\pi}{3}\approx-1.047\lt -1$, а $\cos t\in[-1,1]$.

Вывод.

$$\boxed{\,\text{Решений нет (корней нет).}\,}$$

Итоговые ответы:

а) $t=\dfrac{4\pi}{3}+2\pi n$ или $t=\dfrac{5\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$.

б) Корней нет.

в) $t=\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$.

г) Корней нет.