ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определите знак числа:

а) $\sin \frac{4\pi}{7}$

б) $\cos (-\frac{5\pi }{7})$

в) $\sin \frac{9\pi}{8}$

г) $\sin (-\frac{3\pi }{8})$

Определить знак числа:

а) $\sin \frac{4\pi}{7}$;

$$\frac{\pi}{2} < \frac{4\pi}{7} < \pi;$$

Ответ: плюс.

б) $\cos \left(-\frac{5\pi}{7}\right) = \cos \frac{5\pi}{7}$;

$$\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{7} < \pi;$$

Ответ: минус.

в) $\sin \frac{9\pi}{8}$;

$$\pi < \frac{9\pi}{8} < \frac{3\pi}{2};$$

Ответ: минус.

г) $\sin \left(-\frac{3\pi}{8}\right) = \sin \frac{13\pi}{8}$;

$$\frac{3\pi}{2} < \frac{13\pi}{8} < 2\pi;$$

Ответ: минус.

Что вспомнить перед решением

• Синус и косинус периодичны с периодом $2\pi$.
• Чётность/нечётность:
  • $\sin(-x) = -\sin x$ (синус нечётный).
  • $\cos(-x) = \cos x$ (косинус чётный).
• Знаки по четвертям (угол отсчитываем от $0$ против часовой стрелки):
  • I четверть $(0,\ \frac{\pi}{2})$: $\sin +,\ \cos +$.
  • II четверть $(\frac{\pi}{2},\ \pi)$: $\sin +,\ \cos —$.
  • III четверть $(\pi,\ \frac{3\pi}{2})$: $\sin -,\ \cos —$.
  • IV четверть $(\frac{3\pi}{2},\ 2\pi)$: $\sin -,\ \cos +$.

а) $\sin\frac{4\pi}{7}$

Шаг 1. Определяем четверть.
Сравним угол с границами четвертей:

$$\frac{\pi}{2}=\frac{3.5\pi}{7} < \frac{4\pi}{7} < \frac{7\pi}{7}=\pi.$$

Следовательно, угол во II четверти.

Шаг 2. Знак синуса во II четверти.
Во II четверти $\sin > 0$.
(Опорный угол: $\pi-\frac{4\pi}{7}=\frac{3\pi}{7}$; сам модуль значения равен $\sin\frac{3\pi}{7}$, но нам нужен только знак.)

Вывод: знак плюс.

б) $\cos\!\left(-\frac{5\pi}{7}\right)$

Шаг 1. Устраняем минус при аргументе.
Косинус чётный:

$$\cos\!\left(-\frac{5\pi}{7}\right)=\cos\!\left(\frac{5\pi}{7}\right).$$

Шаг 2. Определяем четверть для $\frac{5\pi}{7}$.

$$\frac{\pi}{2}=\frac{3.5\pi}{7} < \frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{7}=\pi,$$

то есть II четверть.

Шаг 3. Знак косинуса во II четверти.
Во II четверти $\cos < 0$.

Вывод: знак минус.

в) $\sin\frac{9\pi}{8}$

Шаг 1. Определяем четверть.
Представим в восьмых:

$$\pi=\frac{8\pi}{8} < \frac{9\pi}{8} < \frac{12\pi}{8}=\frac{3\pi}{2},$$

поэтому угол в III четверти.

Шаг 2. Знак синуса в III четверти.
В III четверти $\sin < 0$.
(Опорный угол: $\frac{9\pi}{8}-\pi=\frac{\pi}{8}$; модуль значения равен $\sin\frac{\pi}{8}$, но нужен только знак.)

Вывод: знак минус.

г) $\sin\!\left(-\frac{3\pi}{8}\right)$

Покажем два равноценных способа — оба приводят к одному знаку.

Способ A (нечётность синуса).

$$\sin\!\left(-\frac{3\pi}{8}\right)=-\sin\!\left(\frac{3\pi}{8}\right).$$

Угол $\frac{3\pi}{8}$ лежит в I четверти $\bigl(0,\frac{\pi}{2}\bigr)$, где $\sin>0$. Значит,

$$-\sin\!\left(\frac{3\pi}{8}\right)<0.$$

Знак — минус.

Способ B (приведение к сонаправленному углу).
Прибавим период $2\pi=\frac{16\pi}{8}$:

$$-\frac{3\pi}{8}+2\pi=\frac{13\pi}{8}.$$

То есть $\sin\!\left(-\frac{3\pi}{8}\right)=\sin\!\left(\frac{13\pi}{8}\right)$.
Теперь определим четверть для $\frac{13\pi}{8}$:

$$\frac{12\pi}{8}=\frac{3\pi}{2} < \frac{13\pi}{8} < \frac{16\pi}{8}=2\pi,$$

это IV четверть, где $\sin<0$. Значит, знак — минус.
(Замечание: действительно, $\sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha$, и $\frac{13\pi}{8}=2\pi-\frac{3\pi}{8}$.)

Вывод: знак минус.