ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определите знак числа:

а) sin 10;

б) cos (−12);

в) sin (−15);

г) cos 8

Определить знак числа:

а) sin 10;

3,1 < π < 3,2;
9,3 < 3π < 9,6;
10,85 < $\frac{7\pi}{2}$ < 11,2;
3π < 10 < $\frac{7\pi}{2}$;
π < 10 − 2π < $\frac{3\pi}{2}$;

Ответ: минус.

б) cos (−12);

3,1 < π < 3,2;
12,4 < 4π < 12,8;
10,85 < $\frac{7\pi}{2}$ < 11,2;
$\frac{7\pi}{2}$ < 12 < 4π;
−4π < −12 < −$\frac{7\pi}{2}$;
0 < 4π − 12 < $\frac{\pi}{2}$;

Ответ: плюс.

в) sin (−15);

3,1 < π < 3,2;
15,5 < 5π < 16;
13,95 < $\frac{9\pi}{2}$ < 14,4;
$\frac{9\pi}{2}$ < 15 < 5π;
−5π < −15 < −$\frac{9\pi}{2}$;
π < 6π − 15 < $\frac{3\pi}{2}$;

Ответ: минус.

г) cos 8;

3,1 < π < 3,2;
9,3 < 3π < 9,6;
7,75 < $\frac{5\pi}{2}$ < 8;
$\frac{5\pi}{2}$ < 8 < 3π;
$\frac{\pi}{2}$ < 8 − 2π < π;

Ответ: минус.

Напомним знаки тригонометрических функций по четвертям:

• I четверть $(0,\tfrac{\pi}{2})$: $\sin>0,\ \cos>0$
• II четверть $(\tfrac{\pi}{2},\pi)$: $\sin>0,\ \cos<0$
• III четверть $(\pi,\tfrac{3\pi}{2})$: $\sin<0,\ \cos<0$
• IV четверть $(\tfrac{3\pi}{2},2\pi)$: $\sin<0,\ \cos>0$

а) $\sin 10$

Шаг 1. Оценки для ориентиров

Умножаем неравенство $3{,}1<\pi<3{,}2$ на положительные числа (знак не меняется):

• На 3: $9{,}3<3\pi<9{,}6$.
• На $\tfrac{7}{2}=3{,}5$: $10{,}85<\tfrac{7\pi}{2}<11{,}2$.

Имеем: $3\pi\approx 9{,}42\ldots,\ \tfrac{7\pi}{2}\approx 10{,}99\ldots$. Отсюда

$$3\pi<10<\tfrac{7\pi}{2}.$$

Шаг 2. Приведение к $(0,2\pi)$

Вычитаем $2\pi$ (период) из всех трёх частей неравенства:

$$3\pi-2\pi<10-2\pi<\tfrac{7\pi}{2}-2\pi \quad\Longrightarrow\quad \pi<10-2\pi<\tfrac{3\pi}{2}.$$

Значит, приведённый угол $10-2\pi$ лежит в III четверти.

Шаг 3. Знак

В III четверти $\sin<0$.
Ответ: минус.

б) $\cos(-12)$

Сразу две надёжные дороги; покажу обе.

Вариант 1. Через чётность косинуса

$$\cos(-12)=\cos 12 \quad (\cos\ \text{— чётная}).$$

Сравним 12 с ориентирами $\tfrac{7\pi}{2}$ и $4\pi$.

Из $3{,}1<\pi<3{,}2$:

• На $4$: $12{,}4<4\pi<12{,}8$.
• На $\tfrac{7}{2}$: $10{,}85<\tfrac{7\pi}{2}<11{,}2$.

Отсюда:

$$\tfrac{7\pi}{2}<12<4\pi.$$

Интервал $\left(\tfrac{7\pi}{2},4\pi\right)$ — это IV четверть (ведь это от $3{,}5\pi$ до $4\pi$). В IV четверти $\cos>0$.
Знак: плюс.

Вариант 2. Явное приведение отрицательного угла

Умножаем на $-1$ (знак неравенства меняется):

$$\tfrac{7\pi}{2}<12<4\pi \ \Longrightarrow\ -4\pi<-12<-\tfrac{7\pi}{2}.$$

Прибавим $4\pi$ (период) ко всем частям:

$$0<4\pi-12<\tfrac{\pi}{2}.$$

То есть $-12\equiv 4\pi-12\in(0,\tfrac{\pi}{2})$ — I четверть, где $\cos>0$.
Знак: плюс.

в) $\sin(-15)$

Шаг 1. Оценки для ориентиров

Из $3{,}1<\pi<3{,}2$:

• На $5$: $15{,}5<5\pi<16$.
• На $\tfrac{9}{2}=4{,}5$: $13{,}95<\tfrac{9\pi}{2}<14{,}4$.

Следовательно,

$$\tfrac{9\pi}{2}<15<5\pi.$$

Шаг 2. Два способа увидеть знак

Способ А (через нечётность синуса).
$\sin(-15)=-\sin 15$.
Интервал $\left(\tfrac{9\pi}{2},5\pi\right)=(4{,}5\pi,5\pi)$ соответствует II четверти (между $\tfrac{9\pi}{2}$ и $5\pi$). В II четверти $\sin>0$, значит

$$\sin(-15)=-\underbrace{\sin 15}_{>0}<0.$$

Способ Б (приведение периода к $(0,2\pi)$).
Умножаем неравенство $\tfrac{9\pi}{2}<15<5\pi$ на $-1$ и меняем знаки:

$$-5\pi<-15<-\tfrac{9\pi}{2}.$$

Прибавим $6\pi$ (то есть три периода $2\pi$):

$$\pi<6\pi-15<\tfrac{3\pi}{2}.$$

Значит, $-15\equiv 6\pi-15$ попадает в III четверть, где $\sin<0$.
В обоих подходах получаем одно и то же.

Ответ: минус.

г) $\cos 8$

Шаг 1. Оценки для ориентиров

Из $3{,}1<\pi<3{,}2$:

• На $3$: $9{,}3<3\pi<9{,}6$.
• На $\tfrac{5}{2}=2{,}5$: $7{,}75<\tfrac{5\pi}{2}<8$.

Отсюда:

$$\tfrac{5\pi}{2}<8<3\pi.$$

Шаг 2. Приведение к $(0,2\pi)$

Вычтем $2\pi$:

$$\tfrac{5\pi}{2}-2\pi<8-2\pi<3\pi-2\pi \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{\pi}{2}<8-2\pi<\pi.$$

Это II четверть.

Шаг 3. Знак

Во II четверти $\cos<0$.
Ответ: минус.