ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определите знак числа:

а) $\cos \frac{5\pi}{9} — \operatorname{tg} \frac{25\pi}{18}$;

б) $\operatorname{tg} 1 — \cos 2$;

в) $\sin \frac{7\pi}{10} — \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{5}$;

г) $\sin 2 — \operatorname{ctg} 5,5$

Определить знак числа:

а) $\cos \frac{5\pi}{9} — \operatorname{tg} \frac{25\pi}{18}$;

Первое слагаемое:

$$\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{9} < \pi;$$ $$\cos \frac{5\pi}{9} < 0;$$

Второе слагаемое:

$$\pi < \frac{25\pi}{18} < \frac{3\pi}{2};$$ $$\operatorname{tg} \frac{25\pi}{18} > 0;$$

Ответ: минус.

б) $\operatorname{tg} 1 — \cos 2$;

Первое слагаемое:

$$3 < \pi < 4;$$ $$1,5 < \frac{\pi}{2} < 2;$$ $$0 < 1 < \frac{\pi}{2};$$ $$\operatorname{tg} 1 > 0;$$

Второе слагаемое:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi;$$ $$\cos 2 < 0;$$

Ответ: плюс.

в) $\sin \frac{7\pi}{10} — \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{5}$;

Первое слагаемое:

$$\frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{10} < \pi;$$ $$\sin \frac{7\pi}{10} > 0;$$

Второе слагаемое:

$$\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{5} < \pi;$$ $$\operatorname{ctg} \frac{3\pi}{5} < 0;$$

Ответ: плюс.

г) $\sin 2 — \operatorname{ctg} 5,5$;

Первое слагаемое:

$$3 < \pi < 4;$$ $$1,5 < \frac{\pi}{2} < 2;$$ $$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi;$$ $$\sin 2 > 0;$$

Второе слагаемое:

$$3,1 < \pi < 3,2;$$ $$6,2 < 2\pi < 6,4;$$ $$4,65 < \frac{3\pi}{2} < 4,8;$$ $$\frac{3\pi}{2} < 5,5 < 2\pi;$$ $$\operatorname{ctg} 5,5 < 0;$$

Ответ: плюс.

а) $\displaystyle \cos\frac{5\pi}{9}-\operatorname{tg}\frac{25\pi}{18}$

Шаг 1. $\cos\frac{5\pi}{9}$.

$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\frac{5\pi}{9}<\pi\Rightarrow$ II четверть, $\cos<0$:

$$\cos\frac{5\pi}{9}<0.$$

Шаг 2. $\operatorname{tg}\frac{25\pi}{18}$.

$$\frac{25\pi}{18}=\pi+\frac{7\pi}{18}\Rightarrow \operatorname{tg}\frac{25\pi}{18}=\operatorname{tg}\frac{7\pi}{18}.$$

А $0<\frac{7\pi}{18}<\frac{\pi}{2}\Rightarrow\operatorname{tg}\frac{7\pi}{18}>0$.

Шаг 3. Знак разности:

$$\cos\frac{5\pi}{9}-\operatorname{tg}\frac{25\pi}{18}<0-({>0})<0.$$

Вывод: минус.

б) $\displaystyle \operatorname{tg}1-\cos2$

Шаг 1. $\operatorname{tg}1$: $0<1<\frac{\pi}{2}\Rightarrow$ I четверть, $\operatorname{tg}>0$.

Шаг 2. $\cos2$: $\frac{\pi}{2}<2<\pi\Rightarrow$ II четверть, $\cos<0$.

Шаг 3.

$$\operatorname{tg}1-\cos2=(>0)-(<0)=(>0)+ (>0)>0.$$

Вывод: плюс.

в) $\displaystyle \sin\frac{7\pi}{10}-\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{5}$

Шаг 1. $\sin\frac{7\pi}{10}$: $\frac{\pi}{2}<\frac{7\pi}{10}<\pi\Rightarrow$ II четверть, $\sin>0$.

Шаг 2. $\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{5}$:

• По четвертям: $\frac{3\pi}{5}\in(\frac{\pi}{2},\pi)\Rightarrow$ II четверть, $\operatorname{ctg}<0$.
• Или: $\operatorname{ctg}x=\operatorname{tg}\!\bigl(\frac{\pi}{2}-x\bigr)\Rightarrow \operatorname{ctg}\frac{3\pi}{5}=\operatorname{tg}\!\bigl(-\frac{\pi}{10}\bigr)=-\operatorname{tg}\frac{\pi}{10}<0.$

Шаг 3.

$$\sin\frac{7\pi}{10}-\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{5}=(>0)-(<0)=(>0)+ (>0)>0.$$

Вывод: плюс.

г) $\displaystyle \sin2-\operatorname{ctg}5{,}5$

Шаг 1. $\sin2$: $\frac{\pi}{2}<2<\pi\Rightarrow$ II четверть, $\sin>0$.

Шаг 2. $\operatorname{ctg}5{,}5$:
$\frac{3\pi}{2}<5{,}5<2\pi\Rightarrow$ IV четверть, $\operatorname{ctg}<0$.
Эквивалентно: $\operatorname{ctg}(2\pi-x)=-\operatorname{ctg}x$; при $x=2\pi-5{,}5\in(0,\frac{\pi}{2})$ имеем $\operatorname{ctg}x>0\Rightarrow \operatorname{ctg}5{,}5<0$.

Шаг 3.

$$\sin2-\operatorname{ctg}5{,}5=(>0)-(<0)=(>0)+ (>0)>0.$$

Вывод: плюс.

Итог:

а) минус;

б) плюс;

в) плюс;

г) плюс.

Для самопроверки:

$\cos\frac{5\pi}{9}\approx -0{,}173,\ \operatorname{tg}\frac{25\pi}{18}\approx 2{,}747\Rightarrow <0$;
$\operatorname{tg}1\approx 1{,}557>0,\ \cos2\approx -0{,}416<0\Rightarrow >0$;
$\sin\frac{7\pi}{10}\approx 0{,}588>0,\ \operatorname{ctg}\frac{3\pi}{5}\approx -0{,}726<0\Rightarrow >0$;
$\sin2\approx 0{,}909>0,\ \operatorname{ctg}5{,}5\approx -0{,}229<0\Rightarrow >0$.