ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определите знак числа:

а) $\sin 1\cdot \cos 2\cdot \mathrm{tg}3\cdot \mathrm{ctg}4$

б) $\sin (-5)\cdot \cos (-6)\cdot \mathrm{tg}(-7)\cdot \mathrm{ctg}(-8)$

Определить знак числа:

а) $\sin 1\cdot \cos 2\cdot \mathrm{tg}3\cdot \mathrm{ctg}4$

Первый множитель:

$$3<\pi <4;$$$$1,5<\frac{\pi }{2}<2;$$$$0<1<\frac{\pi }{2};$$$$\sin 1>0;$$

Второй множитель:

$$\frac{\pi }{2}<2<\pi ;$$$$\cos 2<0;$$

Третий множитель:

$$\frac{\pi }{2}<3<\pi ;$$$$\mathrm{tg}3<0;$$

Четвертый множитель:

$$4,5<\frac{3\pi }{2}<6;$$$$\pi <4<\frac{3\pi }{2};$$$$\mathrm{ctg}4>0;$$

Ответ: плюс.

б) $\sin (-5)\cdot \cos (-6)\cdot \mathrm{tg}(-7)\cdot \mathrm{ctg}(-8)$

Первый множитель:

$$3,1<\pi <3,2;$$$$6,2<2\pi <6,4;$$$$4,65<\frac{3\pi }{2}<4,8;$$$$\frac{3\pi }{2}<5<2\pi ;$$$$\sin 5<0;$$

Второй множитель:

$$\frac{3\pi }{2}<6<2\pi ;$$$$\cos 6>0;$$

Третий множитель:

$$7,75<\frac{5\pi }{2}<8;$$$$2\pi <7<\frac{5\pi }{2};$$$$0<7-2\pi <\frac{\pi }{2};$$$$\mathrm{tg}7>0;$$

Четвертый множитель:

$$9,3<3\pi <9,6;$$$$\frac{5\pi }{2}<8<3\pi ;$$$$\pi <8-2\pi <\pi ;$$$$\mathrm{ctg}8<0;$$

Ответ: минус.

Опорные числа (для сравнения):

$$\pi \approx \mathrm{3,1416},\frac{\pi }{2}\approx \mathrm{1,5708},\frac{3\pi }{2}\approx \mathrm{4,7124},$$

$$2\pi \approx \mathrm{6,2832},\frac{5\pi }{2}\approx \mathrm{7,8540},3\pi \approx \mathrm{9,4248.}$$

Памятка по знакам в четвертях (для $x\in (0,2\pi )$):

• I: $(0,\frac{\pi }{2})$: $\sin x>0,\cos x>0,\mathrm{tg}x>0,\mathrm{ctg}x>0$
• II: $(\frac{\pi }{2},\pi )$: $\sin x>0,\cos x<0,\mathrm{tg}x<0,\mathrm{ctg}x<0$
• III: $(\pi ,\frac{3\pi }{2})$: $\sin x<0,\cos x<0,\mathrm{tg}x>0,\mathrm{ctg}x>0$
• IV: $(\frac{3\pi }{2},2\pi )$: $\sin x<0,\cos x>0,\mathrm{tg}x<0,\mathrm{ctg}x<0$

Также:

$$\sin (-x)=-\sin x,\cos (-x)=\cos x,$$

$$\mathrm{tg}(-x)=-\mathrm{tg}x,\mathrm{ctg}(-x)=-\mathrm{ctg}x,$$

у $\mathrm{tg}$ и $\mathrm{ctg}$ период $\pi$, у $\sin$ и $\cos$ — $2\pi$.

а) $\sin 1\cdot \cos 2\cdot \mathrm{tg}3\cdot \mathrm{ctg}4$

1. $\sin 1$: $0<1<\frac{\pi }{2}$ ⇒ I четверть ⇒ $\sin 1>0$.
2. $\cos 2$: $\frac{\pi }{2}<2<\pi$ ⇒ II четверть ⇒ $\cos 2<0$.
3. $\mathrm{tg}3$: $\frac{\pi }{2}<3<\pi$ ⇒ II четверть ⇒ $\mathrm{tg}3<0$ (так как $\mathrm{tg}=\sin \mathrm{/}\cos$, а в II четверти $\sin >0,\cos <0$).
4. $\mathrm{ctg}4$: $\pi <4<\frac{3\pi }{2}$ ⇒ III четверть ⇒ $\mathrm{ctg}4>0$ (в III четверти $\sin <0,\cos <0$, значит $\mathrm{ctg}=\cos \mathrm{/}\sin >0$).

Перемножаем знаки: $(+)\cdot (-)\cdot (-)\cdot (+)=+$.

Вывод для (а): знак «плюс».

(Быстрая численная самопроверка на ощущение: $\sin 1\approx \mathrm{0,84}>0$, $\cos 2\approx -\mathrm{0,42}<0$, $\mathrm{tg}3\approx -\mathrm{0,14}<0$, $\mathrm{ctg}4>0$ ⇒ произведение $>0$.)

б) $\sin (-5)\cdot \cos (-6)\cdot \mathrm{tg}(-7)\cdot \mathrm{ctg}(-8)$

Снимем минусы с аргументов с помощью чётности/нечётности:

$$\sin (-5)=-\sin 5,\cos (-6)=\cos 6,\mathrm{tg}(-7)=-\mathrm{tg}7,\mathrm{ctg}(-8)=-\mathrm{ctg}8.$$

Значит общий знак — это $(-1)\cdot (+1)\cdot (-1)\cdot (-1)=(-1)$ умножить на знак произведения $\sin 5\cdot \cos 6\cdot \mathrm{tg}7\cdot \mathrm{ctg}8$.
Теперь найдём знаки $\sin 5,\cos 6,\mathrm{tg}7,\mathrm{ctg}8$.

1. $\sin 5$: $\frac{3\pi }{2}<5<2\pi$ (т.е. $\mathrm{4,7124}<5<\mathrm{6,2832}$) ⇒ IV четверть ⇒ $\sin 5<0$.
2. $\cos 6$: $\frac{3\pi }{2}<6<2\pi$ ⇒ IV четверть ⇒ $\cos 6>0$.
3. $\mathrm{tg}7$: учитываем период $\pi$:

$$7-2\pi \approx 7-\mathrm{6,2832}=\mathrm{0,7168}\in (0,\frac{\pi }{2}),$$

то есть приведённый угол — I четверть ⇒ $\mathrm{tg}7>0$.

$\mathrm{ctg}8$: локализуем $8$: $\frac{5\pi }{2}<8<3\pi$ (т.е. $\mathrm{7,8540}<8<\mathrm{9,4248}$). Вычтем $2\pi$:

$$8-2\pi \approx \mathrm{1,7168}\in (\frac{\pi }{2},\pi ),$$

это II четверть ⇒ $\mathrm{ctg}8<0$ (в II: $\cos <0,\sin >0$, значит $\mathrm{ctg}=\cos \mathrm{/}\sin <0$).

Итак, для положительных аргументов: $\sin 5<0,\cos 6>0,\mathrm{tg}7>0,\mathrm{ctg}8<0$.
Возвращаемся к исходным со знаками от нечётности:

$$\sin (-5)=-(\sin 5)>0,\cos (-6)=\cos 6>0,$$

$$\mathrm{tg}(-7)=-(\mathrm{tg}7)<0,\mathrm{ctg}(-8)=-(\mathrm{ctg}8)>0.$$

Перемножаем: $(+)\cdot (+)\cdot (-)\cdot (+)=-$.

Вывод для (б): знак «минус».

(Мини-проверка: $\sin (-5)\approx +\mathrm{0,96}$, $\cos (-6)\approx +\mathrm{0,96}$, $\mathrm{tg}(-7)\approx -\mathrm{0,88}$, $\mathrm{ctg}(-8)>0$ ⇒ произведение $<0$.)

Итог

a) $\sin 1\cdot \cos 2\cdot \mathrm{tg}3\cdot \mathrm{ctg}4$ — плюс.

б) $\sin (-5)\cdot \cos (-6)\cdot \mathrm{tg}(-7)\cdot \mathrm{ctg}(-8)$ — минус.