ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\cos 1 + \cos(1 + \pi) + \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) =$

б) $\sin 2+\sin (2+\pi )+{\cos }^2(-\frac{\pi }{12})+{\sin }^2\frac{\pi }{12}$

Вычислить значение:

а) $\cos 1 + \cos(1 + \pi) + \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) =$

$= \cos 1 — \cos 1 — \sin\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{6} = 0 — \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$;

Ответ: 0.

б) $\sin 2 + \sin(2 + \pi) + \cos^2\left(-\frac{\pi}{12}\right) + \sin^2\frac{\pi}{12} =$

$= \sin 2 — \sin 2 + \left(\cos^2\frac{\pi}{12} + \sin^2\frac{\pi}{12}\right) = 0 + 1 = 1$;

Ответ: 1.

а) $\cos 1 + \cos(1+\pi) + \sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \cos\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)$

Шаг 1. Преобразуем $\cos(1+\pi)$.
Используем формулу сложения для косинуса:

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

При $\alpha=1,\ \beta=\pi$, а также $\cos\pi=-1,\ \sin\pi=0$, получаем:

$$\cos(1+\pi)=\cos1\cdot(-1)-\sin1\cdot 0=-\cos1.$$

Шаг 2. Преобразуем $\sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.
Чётность/нечётность: $\sin(-x)=-\sin x$. Следовательно,

$$\sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right).$$

Шаг 3. Преобразуем $\cos\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)$.
Чётность косинуса: $\cos(-x)=\cos x$. Поэтому

$$\cos\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right).$$

Шаг 4. Подставляем в исходное выражение.

$$\cos 1+(-\cos1)+\bigl(-\sin\tfrac{\pi}{3}\bigr)+\cos\tfrac{\pi}{6} =\cancel{\cos1}-\cancel{\cos1}-\sin\tfrac{\pi}{3}+\cos\tfrac{\pi}{6}.$$

Шаг 5. Значения «табличных» углов.
Из треугольника $30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ$ или единичной окружности:

$$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 6. Завершаем вычисление.

$$-\sin\tfrac{\pi}{3}+\cos\tfrac{\pi}{6} =-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=0.$$

Ответ к пункту а): $0$.

б) $\sin 2+\sin(2+\pi)+\cos^2\!\left(-\frac{\pi}{12}\right)+\sin^2\!\left(\frac{\pi}{12}\right)$

Шаг 1. Преобразуем $\sin(2+\pi)$.
Формула сложения для синуса:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$$

Берём $\alpha=2,\ \beta=\pi$, знаем $\cos\pi=-1,\ \sin\pi=0$:

$$\sin(2+\pi)=\sin2\cdot(-1)+\cos2\cdot 0=-\sin2.$$

Шаг 2. Сумма синусов.

$$\sin2+\sin(2+\pi)=\sin2+(-\sin2)=0.$$

Шаг 3. Преобразуем $\cos^2\!\left(-\frac{\pi}{12}\right)$.
Косинус чётный: $\cos(-x)=\cos x$. Квадрат сохраняет равенство:

$$\cos^2\!\left(-\frac{\pi}{12}\right)=\cos^2\!\left(\frac{\pi}{12}\right).$$

Шаг 4. Используем тождество Пифагора.
Для любого $\alpha$: $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$. При $\alpha=\frac{\pi}{12}$:

$$\cos^2\!\left(\frac{\pi}{12}\right)+\sin^2\!\left(\frac{\pi}{12}\right)=1.$$

Шаг 5. Собираем всё вместе.

$$\underbrace{\bigl(\sin2+\sin(2+\pi)\bigr)}_{=\,0} +\underbrace{\cos^2\!\left(-\frac{\pi}{12}\right)+\sin^2\!\left(\frac{\pi}{12}\right)}_{=\,1} =0+1=1.$$

Ответ к пункту б): $1$.