ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.30 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $10\sin t=\sqrt{75}$;

б) $\sqrt{8}\sin t+2=0$;

в) $8\cos t-\sqrt{32}=0$;

г) $8\cos t=-\sqrt{48}$

Решить уравнение:

а) $10\sin t=\sqrt{75}$;

$$\sin t=\frac{\sqrt{75}}{10}=\frac{5\sqrt{3}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{2};$$

Подходящие точки:

$$M_1(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})=M_1\left(\frac{\pi }{3}\right);$$$$M_2(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})=M_2\left(\frac{2\pi }{3}\right);$$

Ответ: $t_1=\frac{\pi }{3}+2\pi n;t_2=\frac{2\pi }{3}+2\pi n$.

б) $\sqrt{8}\sin t+2=0$;

$$\sin t=-\frac{2}{\sqrt{8}}=-\frac{2}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2};$$

Подходящие точки:

$$M_1(-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2})=M_1\left(\frac{5\pi }{4}\right);$$$$M_2(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2})=M_2\left(\frac{7\pi }{4}\right);$$

Ответ: $t={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}+2\pi n$; $t={\displaystyle \frac{7\pi }{4}}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$

в) $8\cos t-\sqrt{32}=0$;

$$\cos t=\frac{\sqrt{32}}{8}=\frac{4\sqrt{2}}{8}=\frac{\sqrt{2}}{2};$$

Подходящие точки:

$$M_1(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})=M_1\left(\frac{\pi }{4}\right);$$$$M_2(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2})=M_2\left(\frac{7\pi }{4}\right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1=\frac{\pi }{4}+2\pi n;$$$$t_2=\frac{7\pi }{4}-2\pi =-\frac{\pi }{4}+2\pi n;$$

Ответ: $t=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n$.

г) $8\cos t=-\sqrt{48}$;

$$\cos t=-\frac{\sqrt{48}}{8}=-\frac{4\sqrt{3}}{8}=-\frac{\sqrt{3}}{2};$$

Подходящие точки:

$$M_1(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2})=M_1\left(\frac{5\pi }{6}\right);$$$$M_2(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2})=M_2\left(\frac{7\pi }{6}\right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1=\frac{5\pi }{6}+2\pi n;$$$$t_2=\frac{7\pi }{6}-2\pi =-\frac{5\pi }{6}+2\pi n;$$

Ответ: $t=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi n$.

а) $10\sin t=\sqrt{75}$

Шаг 1. $\sin t={\displaystyle \frac{\sqrt{75}}{10}}$.
$\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}\Rightarrow \sin t={\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{10}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Шаг 2. ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\in [-1,1]$ — корректно.

Шаг 3. Опорный угол. $\sin \frac{\pi }{3}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{3}$.

Шаг 4. Квадранты. $\sin t>0$ — I и II четверти.

Шаг 5. Общий ответ.

$$t=\frac{\pi }{3}+2\pi n\text{или}$$

$$t=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Ответ (а): $t={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2\pi n$ или $t={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$

б) $\sqrt{8}\sin t+2=0$

Шаг 1. $\sqrt{8}\sin t=-2\Rightarrow \sin t=-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{8}}}$.
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}\Rightarrow \sin t=-{\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{2}}}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Шаг 2. $-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\in [-1,1]$ — корректно.

Шаг 3. Опорный угол. $\mathrm{\mid }\sin \alpha \mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\Rightarrow \alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ (так как $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$).

Шаг 4. Квадранты. $\sin t<0$ — III и IV четверти.

Шаг 5. Общий ответ.

$$t=\pi +\alpha =\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}+2\pi n\text{или}$$

$$t=2\pi -\alpha =2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Эквивалентно можно записать как $t=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+2\pi n$ или $t={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}+2\pi n$ (эти два семейства покрывают те же углы).

Важно. В вашей записи в пункте (б) закралась неточность: строка $t_1={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+2\pi n$ неверна, потому что $\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, а нам нужен отрицательный синус. Правильно — $t={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}+2\pi n$ и $t={\displaystyle \frac{7\pi }{4}}+2\pi n$ (или в эквивалентной форме с $-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+2\pi n$).

Ответ (б): $t={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}+2\pi n$ или $t={\displaystyle \frac{7\pi }{4}}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$

в) $8\cos t-\sqrt{32}=0$

Шаг 1. $8\cos t=\sqrt{32}\Rightarrow \cos t={\displaystyle \frac{\sqrt{32}}{8}}$.
$\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}\Rightarrow \cos t={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{8}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Шаг 2. ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\in [-1,1]$ — корректно.

Шаг 3. Опорный угол. $\cos \frac{\pi }{4}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\Rightarrow \alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.

Шаг 4. Квадранты. $\cos t>0$ — I и IV четверти.

Шаг 5. Общий ответ.

$$t=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n\text{(то есть }t=\frac{\pi }{4}+2\pi n\text{ или}$$

$$t=\frac{7\pi }{4}+2\pi n\text{)},n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Ответ (в): $t=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$

г) $8\cos t=-\sqrt{48}$

Шаг 1. $\cos t=-{\displaystyle \frac{\sqrt{48}}{8}}$.
$\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}\Rightarrow \cos t=-{\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{8}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Шаг 2. $-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\in [-1,1]$ — корректно.

Шаг 3. Опорный угол. $\cos \frac{\pi }{6}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\Rightarrow \alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.

Шаг 4. Квадранты. $\cos t<0$ — II и III четверти.

Шаг 5. Общий ответ.

$$t=\pi -\alpha =\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}+2\pi n\text{или}$$

$$t=\pi +\alpha =\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Эквивалентная компактная запись: $t=\pm {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+2\pi n$ (так как $\cos$ — чётная функция).

Ответ (г): $,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$