ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.31 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8} — \sqrt{2} \sin t = 0$;

б) $\sqrt{\frac{4}{3}} \cos t = \cos^2 1 + \sin^2 1$

Решить уравнение:

а) $\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8} — \sqrt{2} \sin t = 0$;

$1 — \sqrt{2} \sin t = 0$;

$\sin t = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Подходящие точки:

$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right)$;

$M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{3\pi}{4} \right)$;

Ответ: $t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$; $t_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

б) $\sqrt{\frac{4}{3}} \cos t = \cos^2 1 + \sin^2 1$;

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cos t = 1$;

$\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Подходящие точки:

$M_1 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{6} \right)$;

$M_2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{11\pi}{6} \right)$;

Соответствующие числа:

$t_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$;

$t_2 = \frac{11\pi}{6} — 2\pi = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$;

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

а) $\;\sin^2 \dfrac{\pi}{8} + \cos^2 \dfrac{\pi}{8} — \sqrt{2}\,\sin t = 0$

Шаг 1. Применяем основное тригонометрическое тождество

Для любого угла $\alpha$ верно:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.$$

Значит при $\alpha=\dfrac{\pi}{8}$:

$$\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8} = 1.$$

(Проверка «в лоб» по формулам половинного угла, если хочется увидеть числа:
$\sin^2\frac{\pi}{8}=\dfrac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{2}=\dfrac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}$,
$\cos^2\frac{\pi}{8}=\dfrac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}=\dfrac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}$.
Складываем: $\dfrac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}+\dfrac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}=\dfrac{2}{2}=1$.)

Следовательно исходное уравнение упрощается до

$$1-\sqrt2\,\sin t=0.$$

Шаг 2. Выражаем $\sin t$

$$\sqrt2\,\sin t=1 \;\;\Longrightarrow\;\; \sin t=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Шаг 3. Находим общие решения $\sin t=\dfrac{\sqrt2}{2}$

Значение $\dfrac{\sqrt2}{2}$ достигается синусом при «опорном» угле $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$, потому что

$$\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Синус положителен в I и II квадрантах, поэтому все решения таковы:

$$t=\alpha+2\pi n \quad \text{или} \quad t=\pi-\alpha+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Подставляем $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$:

$$\boxed{\,t=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad t=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.\,}$$

Эквивалентная компактная запись: $t=(-1)^k\frac{\pi}{4}+k\pi,\; k\in\mathbb Z$.
Геометрически это точки единичной окружности
$M_1\!\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right)$ и $M_2\!\left(-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right)$.

Шаг 4. Быстрая проверка

• Для $t=\dfrac{\pi}{4}$: $\sin t=\dfrac{\sqrt2}{2}\Rightarrow 1-\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=1-1=0$.
• Для $t=\dfrac{3\pi}{4}$: $\sin t=\dfrac{\sqrt2}{2}\Rightarrow$ то же самое.
  Периодичность $(2\pi)$ сохраняет равенство для любого $n\in\mathbb Z$.

Ответ (а): $\displaystyle t=\frac{\pi}{4}+2\pi n$ или $\displaystyle t=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$

б) $\;\sqrt{\dfrac{4}{3}}\,\cos t=\cos^2 1+\sin^2 1$

Шаг 1. Снова используем тождество $\sin^2 x+\cos^2 x=1$

Для угла $x=1$ (в радианах):

$$\cos^2 1+\sin^2 1=1.$$

Значит уравнение равноценно

$$\sqrt{\frac{4}{3}}\,\cos t=1.$$

Шаг 2. Нормируем коэффициент при $\cos t$

$$\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{\sqrt4}{\sqrt3}=\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}.$$

Любая из форм эквивалентна; удобнее взять $\dfrac{2}{\sqrt3}$:

$$\frac{2}{\sqrt3}\,\cos t=1 \;\;\Longrightarrow\;\; \cos t=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Шаг 3. Находим общие решения $\cos t=\dfrac{\sqrt3}{2}$

Опорный угол $\beta=\arccos\!\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=\dfrac{\pi}{6}$, потому что

$$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Косинус принимает данное положительное значение в I и IV квадрантах; общая форма решений:

$$t=\pm\beta+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Подставляем $\beta=\dfrac{\pi}{6}$:

$$\boxed{\,t=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.\,}$$

Эквивалентные записи:
$t=\frac{\pi}{6}+2\pi n$ или $t=\frac{11\pi}{6}+2\pi n$;
также часто пишут $t=2\pi n\pm\frac{\pi}{6}$.
Геометрически это точки $M_1\!\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right)$ и $M_2\!\left(\frac{\sqrt3}{2},-\frac12\right)$ на единичной окружности.

Шаг 4. Быстрая проверка

• Для $t=\dfrac{\pi}{6}$: $\cos t=\dfrac{\sqrt3}{2}\Rightarrow \sqrt{\tfrac{4}{3}}\cos t=\tfrac{2}{\sqrt3}\cdot \tfrac{\sqrt3}{2}=1$.
• Для $t=\dfrac{11\pi}{6}$: $\cos t=\dfrac{\sqrt3}{2}\Rightarrow$ то же равенство.
  Периодичность $(2\pi)$ вновь сохраняет решение для любого $n$.

Ответ (б): $\displaystyle t=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$

Итог:

а) $\;\displaystyle t=\frac{\pi}{4}+2\pi n$ или $\displaystyle t=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$

б) $\;\displaystyle t=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$