ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.32 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $|\sin t| = 1$;

б) $\sqrt{1 — \sin^2 t} = \frac{1}{2}$;

в) $|\cos t| = 1$;

г) $\sqrt{1 — \cos^2 t} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решить уравнение:

а) $|\sin t| = 1$;
$\sin t = \pm 1$;

Подходящие точки:
$M_1(0; -1) = M_1\left(\frac{3\pi}{2}\right)$;
$M_2(0; 1) = M_2\left(\frac{\pi}{2}\right)$;

Соответствующие числа:
$t_1 = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi(2n + 1)$;
$t_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi(2n)$;

Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

б) $\sqrt{1 — \sin^2 t} = \frac{1}{2}$;
$\sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t — \sin^2 t} = \frac{1}{2}$;
$\sqrt{\cos^2 t} = \frac{1}{2}$;
$|\cos t| = \frac{1}{2}$;
$\cos t = \pm \frac{1}{2}$;

Подходящие точки:
$M_1\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{3}\right)$;
$M_2\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{5\pi}{3}\right)$;
$M_3\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_3\left(\frac{2\pi}{3}\right)$;

$M_4\left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_4\left(\frac{4\pi}{3}\right)$;

Соответствующие числа:
$t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + \pi(2n)$;
$t_2 = \frac{5\pi}{3} — 2\pi = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi(2n)$;
$t_3 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi(2n + 1)$;
$t_4 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + \pi(2n + 1)$;

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$.

в) $|\cos t| = 1$;
$\cos t = \pm 1$;

Подходящие точки:
$M_1(-1; 0) = M_1(\pi)$;
$M_2(1; 0) = M_2(0)$;

Соответствующие числа:
$t_1 = \pi + 2\pi n = \pi(2n + 1)$;
$t_2 = 2\pi n = \pi(2n)$;

Ответ: $t = \pi k$.

г) $\sqrt{1 — \cos^2 t} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
$\sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t — \cos^2 t} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
$\sqrt{\sin^2 t} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
$|\sin t| = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
$\sin t = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Подходящие точки:
$M_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{4}\right)$;
$M_2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_2\left(\frac{3\pi}{4}\right)$;
$M_3\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_3\left(\frac{5\pi}{4}\right)$;
$M_4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_4\left(\frac{7\pi}{4}\right)$;

Соответствующие числа:
$t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(4n)}{2}$;
$t_2 = \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(4n + 1)}{2}$;
$t_3 = \frac{5\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(4n + 2)}{2}$;
$t_4 = \frac{7\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(4n + 3)}{2}$;

Ответ: $t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.

а) $|\sin t|=1$

1) Анализ уравнения.
Всегда $-1\le \sin t\le 1$. Равенство $|\sin t|=1$ возможно только когда $\sin t=\pm1$.

2) Решения по единичной окружности.

• $\sin t=1$ ⇔ верхняя точка окружности $(0,1)$ ⇒ $t=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$.
• $\sin t=-1$ ⇔ нижняя точка $(0,-1)$ ⇒ $t=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n$.

3) Сжатие в одну формулу.
Заметим, что прибавление $\pi$ к аргументу меняет знак синуса: $\sin(t+\pi)=-\sin t$. Поэтому обе серии объединяются:

$$t=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4) Проверка.
$\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+\pi k\right)=(-1)^k\cdot 1\Rightarrow |\sin|=1$. Готово.

б) $\sqrt{\,1-\sin^2 t\,}=\frac12$

1) Область определения и аккуратность со знаком.
Подкоренное $1-\sin^2 t=\cos^2 t\ge 0$ — определено всегда.
$\sqrt{\cos^2 t}=|\cos t|$ (именно модуль, а не просто $\cos t$).

2) Переход к модулю косинуса.

$$\sqrt{1-\sin^2 t}=|\cos t|=\frac12.$$

Значит

$$|\cos t|=\frac12\quad\Longleftrightarrow\quad \cos t=\pm\frac12.$$

3) Базовые углы.
$\arccos\!\left(\frac12\right)=\frac{\pi}{3}$.
На окружности:
$\cos t=\frac12\Rightarrow t=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$.
$\cos t=-\frac12\Rightarrow t=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$.

4) Сжатие семейства решений.
Прибавление $\pi$ к $t$ меняет знак косинуса: $\cos(t+\pi)=-\cos t$.
Поэтому все четыре луча можно записать как одну формулу:

$$t=\pm\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

(Если $k$ чётный — получаем $\cos t=\pm\frac12$ с плюсом, если нечётный — с минусом.)

5) Проверка.
Для любого $k$: $\cos^2 t=\frac14\Rightarrow \sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{\cos^2 t}=|\cos t|=\frac12$. Ок.

в) $|\cos t|=1$

1) Анализ уравнения.
Всегда $-1\le \cos t\le 1$. Равенство $|\cos t|=1$ только при $\cos t=\pm1$.

2) Решения.

• $\cos t=1\Rightarrow t=2\pi n$ (точка $(1,0)$).
• $\cos t=-1\Rightarrow t=\pi+2\pi n$ (точка $(-1,0)$).

3) Сжатие.
Эти две серии объединяются одной формулой шагом $\pi$:

$$t=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4) Проверка.
$\cos(\pi k)=(-1)^k\Rightarrow |\cos|=1$. Верно.

г) $\sqrt{\,1-\cos^2 t\,}=\dfrac{\sqrt2}{2}$

1) Осторожно со знаком корня.
$1-\cos^2 t=\sin^2 t\ge 0$. Поэтому

$$\sqrt{1-\cos^2 t}=\sqrt{\sin^2 t}=|\sin t|.$$

2) Переход к модулю синуса.

$$|\sin t|=\frac{\sqrt2}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad \sin t=\pm\frac{\sqrt2}{2}.$$

3) Базовые углы.
$\arcsin\!\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{\pi}{4}$.
На окружности:
$\sin t=\frac{\sqrt2}{2}\Rightarrow t=\frac{\pi}{4}+2\pi n$ или $t=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$.
$\sin t=-\frac{\sqrt2}{2}\Rightarrow t=\frac{5\pi}{4}+2\pi n$ или $t=\frac{7\pi}{4}+2\pi n$.

4) Сжатие в одну формулу.
Прибавление $\frac{\pi}{2}$ циклически пробегает эти четыре луча (через четверть окружности):

$$t=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\,k,\quad k\in\mathbb Z.$$

5) Проверка.
$\sin\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k\right)=\pm\frac{\sqrt2}{2}\Rightarrow |\sin|=\frac{\sqrt2}{2}$. Совпадает.

Итоговые ответы:

а) $t=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\; k\in\mathbb Z$.

б) $t=\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\; k\in\mathbb Z$.

в) $t=\pi k,\; k\in\mathbb Z$.

г) $t=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}\,k,\; k\in\mathbb Z$.