ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.33 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Имеет ли смысл выражение:

а) $\sqrt{\sin 10,2\pi }$

б) $\sqrt{\cos 1,3\pi}$

в) $\sqrt{\sin (-3,4\pi )}$

г) $\sqrt{\cos (-6,9\pi )}$

Выяснить, имеет ли смысл выражение:

а) $\sqrt{\sin 10,2\pi} = \sqrt{\sin(0,2\pi + 10\pi)} = \sqrt{\sin 0,2\pi}$;
$0 < 0,2\pi < 0,5\pi$;
$\sin 0,2\pi > 0$;
Ответ: да.

б) $\sqrt{\cos 1,3\pi}$;
$\pi < 1,3\pi < 1,5\pi$;
$\cos 1,3\pi < 0$;
Ответ: нет.

в) $\sqrt{\sin(-3,4\pi)} = \sqrt{\sin(4\pi — 3,4\pi)} = \sqrt{\sin 0,6\pi}$;
$0,5\pi < 0,6\pi < \pi$;
$\sin 0,6\pi > 0$;
Ответ: да.

г) $\sqrt{\cos(-6,9\pi)} = \sqrt{\cos(8\pi — 6,9\pi)} = \sqrt{\cos 1,1\pi}$;
$\pi < 1,1\pi < 1,5\pi$;
$\cos 1,1\pi < 0$;
Ответ: нет.

Полезные факты:

• Периодичность: $\sin(x+2\pi k)=\sin x$, $\cos(x+2\pi k)=\cos x$, $k\in\mathbb{Z}$.
• Чётность/нечётность: $\sin(-x)=-\sin x$, $\cos(-x)=\cos x$.
• Знаки по квадрантам:
  • I $(0,\tfrac{\pi}{2})$: $\sin>0,\ \cos>0$
  • II $(\tfrac{\pi}{2},\pi)$: $\sin>0,\ \cos<0$
  • III $(\pi,\tfrac{3\pi}{2})$: $\sin<0,\ \cos<0$
  • IV $(\tfrac{3\pi}{2},2\pi)$: $\sin<0,\ \cos>0$

а) $\sqrt{\sin(10{,}2\pi)}$

1) Приведение аргумента.
$10{,}2\pi = 10\pi + 0{,}2\pi = 5\cdot(2\pi) + 0{,}2\pi$.
По периодичности: $\sin(10{,}2\pi)=\sin(0{,}2\pi)$.

2) Квадрант и знак.
$0<0{,}2\pi<0{,}5\pi\Rightarrow$ I квадрант, значит $\sin(0{,}2\pi)>0$.

3) Вывод.
Подкоренное выражение положительно $\Rightarrow \sqrt{\sin(10{,}2\pi)}$ имеет смысл в $\mathbb{R}$.

(Проверка числом: $\sin(0{,}2\pi)=\sin\frac{\pi}{5}\approx 0{,}5878>0$.)

Ответ: да.

б) $\sqrt{\cos(1{,}3\pi)}$

1) Приведение аргумента.
$1{,}3\pi=\pi+0{,}3\pi$.

2) Квадрант и знак.
$\pi<1{,}3\pi<1{,}5\pi\Rightarrow$ III квадрант, где $\cos<0$.
Точнее: $\cos(1{,}3\pi)=\cos(\pi+0{,}3\pi)=-\cos(0{,}3\pi)$, а $0<0{,}3\pi<0{,}5\pi\Rightarrow \cos(0{,}3\pi)>0$. Значит $\cos(1{,}3\pi)<0$.

3) Вывод.
Подкоренное выражение отрицательно $\Rightarrow \sqrt{\cos(1{,}3\pi)}$ не имеет смысла в $\mathbb{R}$.

(Проверка числом: $\cos(1{,}3\pi)=\cos\frac{13\pi}{10}\approx -0{,}5878<0$.)

Ответ: нет.

в) $\sqrt{\sin(-3{,}4\pi)}$

Покажем двумя эквивалентными путями.

Путь A (периодичность):
Добавим $4\pi$ (целое число периодов): $-3{,}4\pi+4\pi=0{,}6\pi$.
Тогда $\sin(-3{,}4\pi)=\sin(0{,}6\pi)$.

Путь B (чётность + приведение):
$\sin(-3{,}4\pi)=-\sin(3{,}4\pi)$.
$3{,}4\pi=\pi+2\pi+0{,}4\pi\Rightarrow \sin(3{,}4\pi)=\sin(\pi+0{,}4\pi)=-\sin(0{,}4\pi)$.
Следовательно, $\sin(-3{,}4\pi)=-(-\sin(0{,}4\pi))=\sin(0{,}4\pi)$.
Заметим, что $\sin(0{,}6\pi)=\sin(\pi-0{,}4\pi)=\sin(0{,}4\pi)$, так что оба пути согласуются.

2) Квадрант и знак.
$0{,}5\pi<0{,}6\pi<\pi\Rightarrow$ II квадрант, там $\sin>0$.

3) Вывод.
Подкоренное выражение положительно $\Rightarrow \sqrt{\sin(-3{,}4\pi)}$ имеет смысл в $\mathbb{R}$.

(Проверка числом: $\sin(0{,}6\pi)=\sin\frac{3\pi}{5}\approx 0{,}9511>0$.)

Ответ: да.

г) $\sqrt{\cos(-6{,}9\pi)}$

1) Приведение аргумента.
Можно использовать чётность: $\cos(-6{,}9\pi)=\cos(6{,}9\pi)$.
Либо прибавить $8\pi$: $-6{,}9\pi+8\pi=1{,}1\pi$, тогда $\cos(-6{,}9\pi)=\cos(1{,}1\pi)$ (как в условии).

2) Квадрант и знак.
$\pi<1{,}1\pi<1{,}5\pi\Rightarrow$ III квадрант, где $\cos<0$.
Точнее: $\cos(1{,}1\pi)=\cos(\pi+0{,}1\pi)=-\cos(0{,}1\pi)$, а $0<0{,}1\pi<0{,}5\pi\Rightarrow \cos(0{,}1\pi)>0$. Значит $\cos(1{,}1\pi)<0$.

3) Вывод.
Подкоренное выражение отрицательно $\Rightarrow \sqrt{\cos(-6{,}9\pi)}$ не имеет смысла в $\mathbb{R}$.

(Проверка числом: $\cos(1{,}1\pi)=\cos\frac{11\pi}{10}\approx -0{,}9511<0$.)

Ответ: нет.