ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.35 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определите знак разности:

а) $\sin \frac{2\pi}{9} — \sin \frac{10\pi}{9}$;

б) $\sin 1 — \sin 1,1$;

в) $\sin \frac{15\pi}{8} — \cos \frac{\pi}{4}$;

г) $\cos 1 — \cos 0,9$

Определить знак разности:

а) $\sin \frac{2\pi}{9} — \sin \frac{10\pi}{9}$;

Первое слагаемое:
$0 < \frac{2\pi}{9} < \frac{\pi}{2};$
$\sin \frac{2\pi}{9} > 0;$

Второе слагаемое:
$\pi < \frac{10\pi}{9} < \frac{3\pi}{2};$
$\sin \frac{10\pi}{9} < 0;$

Ответ: плюс.

б) $\sin 1 — \sin 1,1$;

$3 < \pi < 4$;
$1,5 < \frac{\pi}{2} < 2;$
$0 < 1 < 1,1 < \frac{\pi}{2};$
$\sin 1 < \sin 1,1;$

Ответ: минус.

в) $\sin \frac{15\pi}{8} — \cos \frac{\pi}{4}$;

Первое слагаемое:
$\frac{3\pi}{2} < \frac{15\pi}{8} < 2\pi;$
$\sin \frac{15\pi}{8} < 0;$

Второе слагаемое:
$0 < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2};$
$\cos \frac{\pi}{4} > 0;$

Ответ: минус.

г) $\cos 1 — \cos 0,9$;

$3 < \pi < 4$;
$1,5 < \frac{\pi}{2} < 2;$
$0 < 0,9 < 1 < \frac{\pi}{2};$
$\cos 1 < \cos 0,9;$

Ответ: минус.

а) $\;\sin\frac{2\pi}{9}-\sin\frac{10\pi}{9}$

Способ 1 (через четверти круга)

$\dfrac{2\pi}{9}\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ — I четверть ⇒ $\sin\dfrac{2\pi}{9}>0$.

$\dfrac{10\pi}{9}=\pi+\dfrac{\pi}{9}\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)$ — III четверть ⇒ $\sin\dfrac{10\pi}{9}<0$.

Разность «положительное − отрицательное» всегда положительна.
Значит, $\sin\dfrac{2\pi}{9}-\sin\dfrac{10\pi}{9}>0$.

Способ 2 (формула разности синусов — строго по знаку)

$$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\,\sin\frac{A-B}{2}.$$

Берём $A=\tfrac{2\pi}{9},\;B=\tfrac{10\pi}{9}$:

$$\sin\tfrac{2\pi}{9}-\sin\tfrac{10\pi}{9} =2\cos\!\left(\tfrac{12\pi}{9}\cdot\tfrac12\right)\sin\!\left(\tfrac{-8\pi}{9}\cdot\tfrac12\right) =2\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)\sin\!\left(-\tfrac{4\pi}{9}\right).$$

$\cos\tfrac{2\pi}{3}=-\tfrac12$, $\sin(-x)=-\sin x$, получаем:

$$2\cdot\Big(-\tfrac12\Big)\cdot\big(-\sin\tfrac{4\pi}{9}\big)=\sin\tfrac{4\pi}{9}.$$

А $\tfrac{4\pi}{9}\in(0,\tfrac{\pi}{2})$ ⇒ $\sin\tfrac{4\pi}{9}>0$.
Итог: знак «плюс».

б) $\;\sin1-\sin1{,}1$

Ключевая идея: монотонность $\sin x$ на $(0,\tfrac{\pi}{2})$

Численно: $3<\pi<4\Rightarrow \tfrac{\pi}{2}\in(1{,}5,2)$.

Имеем $0<1<1{,}1<\tfrac{\pi}{2}$. На интервале $(0,\tfrac{\pi}{2})$ синус строго возрастает.

Следовательно, $\sin1<\sin1{,}1$ ⇒ $\sin1-\sin1{,}1<0$.

Строгое обоснование возрастания (через производную/Теорему Лагранжа)

Функция $f(x)=\sin x$ дифференцируема, $f'(x)=\cos x>0$ для $x\in(0,\tfrac{\pi}{2})$.
Либо по ТЛП: $\sin1{,}1-\sin1=\cos\xi\cdot(0{,}1)$ для некоторого $\xi\in(1,1{,}1)\subset(0,\tfrac{\pi}{2})$; $\cos\xi>0$ ⇒ разность положительна ⇒ исходная — отрицательна.
Итог: знак «минус».

в) $\;\sin\frac{15\pi}{8}-\cos\frac{\pi}{4}$

Способ 1 (четверти + приведение аргумента)

$\dfrac{15\pi}{8}=2\pi-\dfrac{\pi}{8}\in\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)$ — IV четверть ⇒ $\sin\dfrac{15\pi}{8}=\sin\!\left(2\pi-\tfrac{\pi}{8}\right)=-\sin\tfrac{\pi}{8}<0$.

$\dfrac{\pi}{4}\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ ⇒ $\cos\dfrac{\pi}{4}>0$.

Разность «отрицательное − положительное» отрицательна.

Способ 2 (точные значения — «железобетонно»)

$$\sin\tfrac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{1-\cos(\pi/4)}{2}} =\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}} =\frac{\sqrt{\,2-\sqrt2\,}}{2},\qquad \cos\tfrac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$\sin \frac{15\pi }{8}-\cos \frac{\pi }{4}=-\sin \frac{\pi }{8}-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=$$

$$\sin\tfrac{15\pi}{8}-\cos\tfrac{\pi}{4} =-\sin\tfrac{\pi}{8}-\frac{\sqrt2}{2} =-\frac{\sqrt{\,2-\sqrt2\,}}{2}-\frac{\sqrt2}{2} =-\frac{\sqrt{\,2-\sqrt2\,}+\sqrt2}{2}<0.$$

Итог: знак «минус».

г) $\;\cos1-\cos0{,}9$

Способ 1 (монотонность $\cos x$ на $(0,\pi)$)

$0<0{,}9<1<\pi$. На $(0,\pi)$ функция $\cos x$ строго убывает (так как $(\cos x)’=-\sin x<0$ на этом интервале).

Большее $x$ даёт меньший $\cos x$: $\cos1<\cos0{,}9$ ⇒ $\cos1-\cos0{,}9<0$.

Способ 2 (формула разности косинусов — строго по знаку)

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\,\sin\frac{\alpha-\beta}{2}.$$

Берём $\alpha=1,\;\beta=0{,}9$:

$$\cos1-\cos0{,}9=-2\,\sin(0{,}95)\,\sin(0{,}05).$$

Обе половины в $(0,\pi)$ ⇒ обе синусы положительны ⇒ произведение положительно, перед ним «−2» ⇒ итог отрицателен.
Итог: знак «минус».

Итог:

а) $+$

б) $−$

в) $−$

г) $−$