ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.36 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство (относительно переменной x):

а) $\cos 2\cdot (2x-1)<0$

б) $\cos 3\cdot \cos 5\cdot (x^2-4)<0$

Решить неравенства:

а) $\cos 2 \cdot (2x — 1) < 0$

Первый множитель:

$$3 < \pi < 4;$$ $$1,5 < \frac{\pi}{2} < 2;$$ $$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi;$$ $$\cos 2 < 0;$$

Решения неравенства:

$$2x — 1 > 0;$$ $$2x > 1;$$ $$x > 0,5;$$

Ответ: $x \in (0,5; +\infty)$.

б) $\cos 3 \cdot \cos 5 \cdot (x^2 — 4) < 0$

Первый множитель:

$$3 < \pi < 4;$$ $$1,5 < \frac{\pi}{2} < 2;$$ $$\frac{\pi}{2} < 3 < \pi;$$ $$\cos 3 < 0;$$

Второй множитель:

$$3,1 < \pi < 3,2;$$ $$6,2 < 2\pi < 6,4;$$ $$4,65 < \frac{3\pi}{2} < 4,8;$$ $$\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi;$$ $$\cos 5 > 0;$$

Решения неравенства:

$$x^2 — 4 > 0;$$ $$(x + 2)(x — 2) > 0;$$ $$x < -2, \, x > 2;$$

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

а) $\ \cos 2 \cdot (2x — 1) < 0$

1) Знак первого множителя $\cos 2$

Работаем в радианах. Оценим, в какой четверти лежит угол $2$:

• $\pi \approx 3{,}1416$, $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}5708$.
• Неравенство $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$ верно (поскольку $1{,}57 < 2 < 3{,}14$).

В промежутке $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ косинус отрицателен (это вторая четверть), следовательно

$$\cos 2 < 0.$$

Причём $\cos 2 \neq 0$ (так как 2 не равен $\frac{\pi}{2} + k\pi$ ни для какого целого $k$).

2) Переход от произведения к знаку второго множителя

Нам нужно, чтобы произведение

$$(\underbrace{\cos 2}_{<0}) \cdot (2x — 1)$$

было меньше нуля. Произведение двух чисел $<0$ тогда и только тогда, когда ровно один множитель отрицателен. Поскольку $\cos 2$ уже отрицателен и не ноль, чтобы всё произведение оказалось $<0$, второй множитель обязан быть положительным:

$$2x — 1 > 0.$$

(Если бы $2x-1<0$, получили бы «минус $\times$ минус = плюс», что не удовлетворяет «<0». Если $2x-1=0$, произведение равно нулю, а у нас строгий знак «<0», так что ноль исключён.)

3) Решение линейного неравенства

$$2x — 1 > 0 \ \Longleftrightarrow\ 2x > 1 \ \Longleftrightarrow\ x > \tfrac{1}{2}.$$

4) Ответ для пункта (а)

$$\boxed{\,x \in \bigl(0{,}5;\ +\infty\bigr)\,}.$$

Быстрая проверка: возьмём $x=1$. Тогда $(2x-1)=1>0$, а $\cos 2<0$. Произведение «минус $\times$ плюс = минус» — верно, неравенство выполняется.

б) $\ \cos 3 \cdot \cos 5 \cdot (x^2 — 4) < 0$

Разберём знаки постоянных множителей по отдельности, а затем сведём задачу к одному неравенству по $x$.

1) Знак $\cos 3$

Снова оценим четверть:

• $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}5708 < 3 < \pi \approx 3{,}1416$.
  Значит $3$ — во второй четверти, где $\cos$ отрицателен:

$$\cos 3 < 0,\quad \cos 3 \neq 0.$$

2) Знак $\cos 5$

Сравним с $\tfrac{3\pi}{2}$ и $2\pi$:

• $\tfrac{3\pi}{2} \approx 4{,}7124 < 5 < 2\pi \approx 6{,}2832$.
  Это четвёртая четверть, где $\cos$ положителен:

$$\cos 5 > 0,\quad \cos 5 \neq 0.$$

3) Сведение к одному множителю

Произведение первых двух множителей:

$$\cos 3 \cdot \cos 5 \quad \text{имеет знак} \quad (<0)\cdot(>0) = <0.$$

То есть $\cos 3 \cdot \cos 5$ — фиксированное отрицательное число, отличное от нуля.

Тогда исходное неравенство эквивалентно

$$(\underbrace{\cos 3 \cdot \cos 5}_{<0}) \cdot (x^2 — 4) < 0.$$

Чтобы произведение было $<0$ при отрицательном первом множителе, второй множитель обязан быть положительным:

$$x^2 — 4 > 0.$$

(Если $x^2-4<0$, то «минус $\times$ минус = плюс» — не подходит; если $x^2-4=0$, то произведение равно нулю — тоже не подходит из-за строгого знака.)

4) Решение неравенства $x^2-4>0$

Два стандартных способа:

1. Через модуль:

$$x^2 — 4 > 0 \ \Longleftrightarrow\ x^2 > 4 \ \Longleftrightarrow\ |x| > 2 \ \Longleftrightarrow\ x < -2 \ \text{ или }\ x > 2.$$

2. Через знак «по корням»:

$$x^2 — 4 = (x-2)(x+2),\quad \text{корни } x=\pm2.$$

Парабола ветвями вверх $(a=1>0)$; значит $x^2-4>0$ вне корневого отрезка:

$$(-\infty,-2)\ \cup\ (2,+\infty).$$

Точки $x=\pm2$ исключаем: при них произведение равно нулю, а нужно строго «<0».

5) Ответ для пункта (б)

$$\boxed{\,x \in (-\infty;\,-2)\ \cup\ (2;\,+\infty)\,}.$$

Быстрая проверка:
— $x=0$: $x^2-4=-4<0$. Тогда «(отрицательное)$\times$(отрицательное) = положительное» — не подходит.
— $x=3$: $x^2-4=5>0$. Тогда «(отрицательное)$\times$(положительное) = отрицательное» — подходит.$$\boxed{x \in (0{,}5;\,+\infty)}\quad\text{и}\quad \boxed{x \in (-\infty;\,-2)\cup(2;\,+\infty)}.$$