ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.37 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство (относительно переменной x):

а) $(\cos t — 5) \cdot (3x — 1) \geq 0$;

б) $(2 + \sin t) \cdot (9 — x^2) \geq 0$

Решить неравенство:

а) $(\cos t — 5) \cdot (3x — 1) \geq 0$;

Первый множитель:

$$-1 \leq \cos t \leq 1;$$ $$-6 \leq \cos t — 5 \leq -4;$$ $$\cos t — 5 < 0;$$

Решения неравенства:

$$3x — 1 \leq 0;$$ $$3x \leq 1;$$ $$x \leq \frac{1}{3};$$

Ответ: $x \in \left( -\infty; \frac{1}{3} \right].$

б) $(2 + \sin t) \cdot (9 — x^2) \geq 0$;

Первый множитель:

$$-1 \leq \sin t \leq 1;$$ $$1 \leq 2 + \sin t \leq 3;$$ $$2 + \sin t > 0;$$

Решения неравенства:

$$9 — x^2 \geq 0;$$ $$x^2 — 9 \leq 0;$$ $$(x + 3)(x — 3) \leq 0;$$ $$-3 \leq x \leq 3;$$

Ответ: $x \in [-3; 3].$

а) $(\cos t-5)(3x-1)\ge 0$

1) Знак первого множителя не зависит от $x$ и $t$

Из основного свойства косинуса:

$$-1\le \cos t\le 1\quad \text{для всех }t\in\mathbb R.$$

Вычитаем 5 (это не меняет направлений неравенств):

$$-6\le \cos t-5\le -4.$$

Отсюда

$$\cos t-5<0\quad\text{и при этом }\cos t-5\neq 0\ \text{(никогда)}.$$

Итак, первый множитель всегда отрицателен и никогда не равен нулю.

2) Правило знака произведения

Произведение чисел $\ge 0$, если оба множителя одного знака: либо оба $\ge 0$, либо оба $\le 0$.

У нас первый множитель строго отрицателен, поэтому, чтобы

$$(\cos t-5)(3x-1)\ge 0,$$

второй множитель обязан быть неположительным:

$$3x-1\le 0.$$

(Формально: делим обе части неравенства на $\cos t-5<0$; при делении на отрицательное число знак $\ge$ меняется на $\le$. Делить можно, потому что $\cos t-5\neq 0$.)

3) Решаем линейное неравенство

$$3x-1\le 0\ \Longleftrightarrow\ 3x\le 1\ \Longleftrightarrow\ x\le \frac13.$$

4) Проверка граничных случаев

• При $x=\tfrac13$: $3x-1=0\Rightarrow$ произведение равно 0 — подходит.
• При $x<\tfrac13$: $3x-1<0$, а первый множитель $<0$ ⇒ произведение $>0$ — подходит.
• При $x>\tfrac13$: $3x-1>0$, первый множитель $<0$ ⇒ произведение $<0$ — не подходит.

Ответ к а): $\displaystyle x\in\left(-\infty,\ \frac13\right].$

б) $(2+\sin t)(9-x^2)\ge 0$

1) Знак первого множителя не зависит от $x$ и $t$

Для синуса:

$$-1\le \sin t\le 1\quad\text{для всех }t\in\mathbb R.$$

Прибавляем 2 (направления неравенств не меняются):

$$1\le 2+\sin t\le 3.$$

Следовательно,

$$2+\sin t>0\quad\text{и }2+\sin t\neq 0\ \text{(никогда)}.$$

Первый множитель всегда положителен и никогда не равен нулю.

2) Упрощаем неравенство

Так как $2+\sin t>0$, деление на него не меняет знак неравенства:

$$(2+\sin t)(9-x^2)\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 9-x^2\ge 0.$$

3) Решаем квадратное неравенство тремя равносильными способами

Способ A (через модуль)

$$9-x^2\ge 0\ \Longleftrightarrow\ x^2\le 9\ \Longleftrightarrow\ |x|\le 3\ \Longleftrightarrow\ -3\le x\le 3.$$

Способ B (разложение на множители + метод интервалов)

$$9-x^2=-(x^2-9)=-(x-3)(x+3).$$

Эквивалентно

$$(x-3)(x+3)\le 0.$$

Корни: $-3$ и $3$. Для произведения $\le 0$ берём промежуток между корнями, включая их:

$$x\in[-3,\,3].$$

Способ C (графический)

График $y=9-x^2$ — парабола, ветви вниз, вершина в $(0,9)$. Условие $9-x^2\ge 0$ означает точки на графике не ниже оси $Ox$, то есть абсциссы от $-3$ до $3$ включительно.

4) Проверка граничных случаев

• $x=3$ или $x=-3$: $9-x^2=0\Rightarrow$ произведение равно 0 — подходит.
• $x=0$: $9-x^2=9>0$, первый множитель $>0$ ⇒ произведение $>0$ — подходит.
• $x=4$: $9-x^2=-7<0$, первый множитель $>0$ ⇒ произведение $<0$ — не подходит.

Ответ к б): $\displaystyle x\in[-3,\ 3].$