ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.38 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\operatorname{ctg} 5 \cdot (x — 1) \geq 0$;

б) $\frac{\operatorname{tg} 7 \cdot \cos 1}{\sin 1} \cdot (2x^2 — 72) < 0$;

в) $(\operatorname{tg} 2 \cdot \sin 5) \cdot (7 — 5x) \leq 0$;

г) $\operatorname{tg} 1 \cdot \operatorname{ctg} 2 \cdot \operatorname{tg} 3 \cdot \operatorname{ctg} 4 \cdot (x^2 + 2) > 0$

Решить неравенство:

а) $\operatorname{ctg} 5 \cdot (x — 1) \geq 0$;

Первый множитель:

$$3,1 < \pi < 3,2;$$ $$6,2 < 2\pi < 6,4;$$ $$4,65 < \frac{3\pi}{2} < 4,8;$$ $$\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi;$$ $$\operatorname{ctg} 5 < 0;$$

Решения неравенства:

$$x — 1 \leq 0;$$ $$x \leq 1;$$

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

б) $\frac{\operatorname{tg} 7 \cdot \cos 1}{\sin 1} \cdot (2x^2 — 72) < 0$;

$\operatorname{tg} 7 \cdot \operatorname{ctg} 1 \cdot (2x^2 — 72) < 0$;

Первый множитель:

$$3,1 < \pi < 3,2;$$ $$6,2 < 2\pi < 6,4;$$ $$7,75 < \frac{5\pi}{2} < 8;$$ $$2\pi < 7 < \frac{5\pi}{2};$$ $$0 < 7 — 2\pi < \frac{\pi}{2};$$ $$\operatorname{tg} 7 \geqslant 0;$$

Второй множитель:

$$3 < \pi < 4;$$ $$1,5 < \frac{\pi}{2} < 2;$$ $$0 < 1 < \frac{\pi}{2};$$ $$\operatorname{ctg} 1 > 0;$$

Решения неравенства:

$$2x^2 — 72 < 0;$$ $$x^2 — 36 < 0;$$ $$(x + 6)(x — 6) < 0;$$ $$-6 < x < 6;$$

Ответ: $x \in (-6; 6)$.

в) $(\operatorname{tg} 2 \cdot \sin 5) \cdot (7 — 5x) \leq 0$;

Первый множитель:

$$3 < \pi < 4;$$ $$1,5 < \frac{\pi}{2} < 2;$$ $$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi;$$ $$\operatorname{tg} 2 < 0;$$

Второй множитель:

$$3,1 < \pi < 3,2;$$ $$6,2 < 2\pi < 6,4;$$ $$4,65 < \frac{3\pi}{2} < 4,8;$$ $$\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi;$$ $$\sin 5 < 0;$$

Решения неравенства:

$$7 — 5x \leq 0;$$ $$5x \geq 7;$$ $$x \geq 1,4;$$

Ответ: $x \in [1,4; +\infty)$.

г) $\operatorname{tg} 1 \cdot \operatorname{ctg} 2 \cdot \operatorname{tg} 3 \cdot \operatorname{ctg} 4 \cdot (x^2 + 2) > 0$;

Первый множитель:

$$3 < \pi < 4;$$ $$1,5 < \frac{\pi}{2} < 2;$$ $$0 < 1 < \frac{\pi}{2};$$ $$\operatorname{tg} 1 > 0;$$

Второй множитель:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi;$$ $$\operatorname{ctg} 2 < 0;$$

Третий множитель:

$$\frac{\pi}{2} < 3 < \pi;$$ $$\operatorname{tg} 3 < 0;$$

Четвертый множитель:

$$4,5 < \frac{3\pi}{2} < 6;$$ $$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2};$$ $$\operatorname{ctg} 4 > 0;$$

Решения неравенства:

$$x^2 + 2 > 0;$$ $$x^2 > -2;$$ $$x \in \mathbb{R};$$

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Общие замечания

• Углы $1,2,3,4,5,7$ — в радианах.
• Будем пользоваться:
  • знаки $\sin$ и $\cos$ в квадрантах ⇒ знак $\tg(\alpha)=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\ctg(\alpha)=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$;
  • $\pi\approx3{,}1416,\; \dfrac{\pi}{2}\approx1{,}5708,\; \dfrac{3\pi}{2}\approx4{,}7124,\; 2\pi\approx6{,}2832$.
• Везде проверим, могут ли «тригонометрические множители» обращаться в ноль или быть не определёнными (важно для знака и для наличия/отсутствия точек равенства).

а) $\ \ctg 5\cdot(x-1)\ge 0$

1) Знак $\ctg 5$

Сравним $5$ с ориентирами: $\dfrac{3\pi}{2}\approx4{,}7124<5<2\pi\approx6{,}2832$.
Значит, $5$ лежит в IV квадранте: $\cos>0,\ \sin<0\Rightarrow \ctg=\dfrac{\cos}{\sin}<0$.

Также проверка определённости: $\sin 5\neq0$ (потому что $5$ не кратен $\pi$), значит $\ctg 5$ определена и не равна нулю.

Итого: $\ctg 5<0$ — константа отрицательна.

2) Преобразование неравенства

При произведении $(\text{отрицательное})\cdot(x-1)\ge0$ знак неравенства для второго множителя меняется:

$$x-1\le 0 \quad\Rightarrow\quad x\le 1.$$

Точкой равенства может быть только $x=1$ (первый множитель нулём не бывает). Она подходит, так как тогда произведение равно нулю.

Ответ: $\boxed{x\in(-\infty;\,1]}$.

б) $\ \dfrac{\tg 7\cdot\cos1}{\sin1}\cdot(2x^2-72)<0$ $\;\equiv\;\tg7\cdot\ctg1\cdot(2x^2-72)<0$

1) Знак $\tg7$

Снимем период $2\pi$: $7-2\pi\approx7-6{,}2832=0{,}7168\in(0,\tfrac{\pi}{2})$.
Это I квадрант ⇒ $\tg7>0$. Определена (угол не $\tfrac{\pi}{2}+k\pi$) и не равна нулю (угол не $k\pi$).

2) Знак $\ctg1$

$1\in(0,\tfrac{\pi}{2})$ — I квадрант ⇒ $\ctg1>0$. Определена ($\sin1\ne0$) и не равна нулю ($\cos1\ne0$).

Следовательно, произведение $\tg7\cdot\ctg1>0$ — постоянно положительно.

3) Сведение к алгебраическому неравенству

Так как первый (тригонометрический) множитель $>0$, знак всего произведения определяется только $(2x^2-72)$:

$$2x^2-72<0\;\Longleftrightarrow\;x^2<36\;\Longleftrightarrow\;-6<x<6.$$

Границы $x=\pm6$ дают $2x^2-72=0$, но нам нужно строго $<0$, поэтому $\pm6$ не входят.

Ответ: $\boxed{x\in(-6;\,6)}$.

в) $\ (\tg2\cdot\sin5)\cdot(7-5x)\le 0$

1) Знак $\tg2$

$\tfrac{\pi}{2}\approx1{,}5708<2<\pi\approx3{,}1416$ — II квадрант ⇒ $\sin>0,\ \cos<0\Rightarrow\tg2<0$.
Определена (2 не равно $\tfrac{\pi}{2}+k\pi$) и не равна нулю (2 не кратно $\pi$).

2) Знак $\sin5$

Как в пункте (а): $5\in(\tfrac{3\pi}{2},\,2\pi)$ — IV квадрант ⇒ $\sin5<0$. Не ноль (5 не кратно $\pi$).

3) Знак произведения тригонометрических множителей

$$(\tg2)\cdot(\sin5) = (\text{отрицательное})\cdot(\text{отрицательное})>0.$$

То есть $\tg2\cdot\sin5$ — строго положительная константа.

4) Сведение к алгебраическому неравенству

Поскольку первый множитель $>0$, знак всего произведения задаётся $(7-5x)$:

$$7-5x\le0\quad\Longleftrightarrow\quad 5x\ge7\quad\Longleftrightarrow\quad x\ge \frac{7}{5}=1{,}4.$$

Здесь равенство возможно: при $x=1{,}4$ второй множитель нулевой, первый — положителен, значит произведение $=0$, что подходит под «$\le0$».

Ответ: $\boxed{x\in[1{,}4;\,+\infty)}$.

г) $\ \tg1\cdot\ctg2\cdot\tg3\cdot\ctg4\cdot(x^2+2)>0$

1) Знаки тригонометрических множителей по отдельности

• $\tg1$: $1\in(0,\tfrac{\pi}{2})$ — I квадрант ⇒ $\tg1>0$.
• $\ctг2$: $2\in(\tfrac{\pi}{2},\pi)$ — II квадрант; $\cos<0,\ \sin>0\Rightarrow \ctg2=\dfrac{\cos}{\sin}<0$.
• $\tg3$: $3\in(\tfrac{\pi}{2},\pi)$ — II квадрант ⇒ $\tg3<0$.
• $\ctg4$: $4\in(\pi,\tfrac{3\pi}{2})$ — III квадрант; $\cos<0,\ \sin<0\Rightarrow \ctg4>0$.

Никто из них не равен нулю (углы не $k\pi$ для $\tg$ и не $\tfrac{\pi}{2}+k\pi$ для $\ctg$); все определены.

Произведение знаков: $(+)\cdot(-)\cdot(-)\cdot(+)=+$.
Следовательно, $\tg1\cdot\ctg2\cdot\tg3\cdot\ctg4$ — строго положительная константа.

2) Знак $(x^2+2)$

Для любого $x\in\mathbb{R}$: $x^2\ge0\Rightarrow x^2+2\ge2>0$. Более того, строго $>0$ (никогда не обращается в ноль).

3) Итоговый знак произведения

Положительная константа $\times$ положительная функция $x^2+2$ ⇒ всё выражение строго положительно для любого $x$.
Никаких точек равенства нет (ни один множитель не может дать ноль).

Ответ: $\boxed{x\in(-\infty;\,+\infty)}$.