ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.39 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сравните числа а и b:

а) $a=\sin 1$, $b=\cos 6$;

б) $a=\sin 3$, $b=\cos 4$;

в) $a=\cos 2$, $b=\sin 4$;

г) $a=\sin 3$, $b=\cos 5$

Сравнить числа $a$ и $b$, если:

а) $a=\sin 1$, $b=\cos 6$;

Первое число:

$$3<\pi <4;$$$$1,5<\frac{\pi }{2}<2;$$$$0<1<\frac{\pi }{2};$$

Второе число:

$$4,5<\frac{3\pi }{2}<6;$$$$6<2\pi <8;$$$$\frac{3\pi }{2}<6<2\pi ;$$

Расстояние до точек максимума:

$$y_{\max }=\mid \frac{\pi }{2}-1\mid \approx 0,5;$$$$x_{\max }=\mathrm{\mid }2\pi -6\mathrm{\mid }\approx 0;$$

Ответ: $a<b$.

б) $a=\sin 3$, $b=\cos 4$;

Первое число:

$$3<\pi <4;$$$$1,5<\frac{\pi }{2}<2;$$$$\frac{\pi }{2}<3<\pi ;$$

Второе число:

$$4,5<\frac{3\pi }{2}<6;$$$$\pi <4<\frac{3\pi }{2};$$

Ответ: $a>b$.

в) $a=\cos 2$, $b=\sin 4$;

Первое число:

$$3<\pi <4;$$$$1,5<\frac{\pi }{2}<2;$$$$\frac{\pi }{2}<2<\pi ;$$

Второе число:

$$4,5<\frac{3\pi }{2}<6;$$$$\pi <4<\frac{3\pi }{2};$$

Расстояние до точек минимума:

$$y_{\min }=\mathrm{\mid }\pi -4\mathrm{\mid }\approx 1;$$$$x_{\min }=\mid \frac{\pi }{2}-2\mid \approx 0,5;$$

Ответ: $a>b$.

г) $a=\sin 3$, $b=\cos 5$;

Первое число:

$$3<\pi <4;$$$$1,5<\frac{\pi }{2}<2;$$$$\frac{\pi }{2}<3<\pi ;$$

Второе число:

$$3,1<\pi <3,2;$$$$6,2<2\pi <6,4;$$$$4,65<\frac{3\pi }{2}<4,8;$$$$\frac{3\pi }{2}<5<2\pi ;$$

Расстояние до точек максимума:

$$y_{\max }=\mid \frac{\pi }{2}-3\mid \approx 1,5;$$$$x_{\max }=\mathrm{\mid }2\pi -5\mathrm{\mid }\approx 1;$$

Ответ: $a<b$.

Приводим оба числа к виду $\cos (\alpha )$ с $\alpha \in [0,\pi ]$ (пользуемся $\sin x=\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{\pi }{2}-x)$, чётностью и периодичностью), а затем сравниваем аргументы, помня, что на отрезке $[0,\pi ]$ функция $\cos$ строго убывает. Для числовых оценок достаточно грубых границ $3.14<\pi <3.142$, откуда

$$\frac{\pi }{2}\in (1.57,1.571),\frac{3\pi }{2}\in (4.71,4.713),2\pi \in (6.28,6.284)\mathrm{.}$$

а) $a=\sin 1,b=\cos 6$

Приводим к виду $\cos$ на $[0,\pi ]$:

$$a=\sin 1=\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{\pi }{2}-1)=\cos \alpha ,\alpha =\frac{\pi }{2}-1\in (0.57,0.571)\mathrm{.}$$$$b=\cos 6=\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(2\pi -(2\pi -6))=\cos \beta ,\beta =2\pi -6\in (0.28,0.284)\mathrm{.}$$

На $[0,\pi ]$ косинус убывает, а $\beta <\alpha$, значит $\cos \beta >\cos \alpha$, то есть

$$\boxed{{\displaystyle a<b}}\mathrm{.}$$

(для контроля: $\sin 1\approx 0.841,\cos 6\approx 0.960$.)

б) $a=\sin 3,b=\cos 4$

$$a=\sin 3=\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(3-\frac{\pi }{2})\Rightarrow a=\cos \alpha ,\alpha =3-\frac{\pi }{2}\in (1.429,1.43),a>0.$$$$b=\cos 4=\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(\pi +(4-\pi ))=-\cos (4-\pi )<0.$$

Положительное число $a$ очевидно больше отрицательного $b$, поэтому

$$\boxed{{\displaystyle a>b}}\mathrm{.}$$

(контроль: $\sin 3\approx 0.141,\cos 4\approx -0.654$.)

в) $a=\cos 2,b=\sin 4$

Сначала делаем оба отрицательными косинусами «острых» углов:

$$a=\cos 2=\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(\pi -(\pi -2))=-\cos (\pi -2)=-\cos A,$$

$$A=\pi -2\in (1.14,1.142)\mathrm{.}$$

$$b=\sin 4=\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{3\pi }{2}-(\frac{3\pi }{2}-4))=-\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{3\pi }{2}-4)=-\cos B,$$

$$B=\frac{3\pi }{2}-4\in (0.71,0.713)\mathrm{.}$$

Сравним $A$ и $B$:

$$A-B=(\pi -2)-(\frac{3\pi }{2}-4)=2-\frac{\pi }{2}>0(\text{поскольку }\frac{\pi }{2}<1.571<2)\mathrm{.}$$

Поскольку $\cos$ убывает на $[0,\pi ]$, имеем $\cos A<\cos B$. Домножая на «минус», получаем

$$-\cos A>-\cos B\Rightarrow a>b\mathrm{.}$$

Итак,

$$\boxed{{\displaystyle a>b}}\mathrm{.}$$

(контроль: $\cos 2\approx -0.416,\sin 4\approx -0.757$.)

г) $a=\sin 3,b=\cos 5$

$$a=\sin 3=\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(3-\frac{\pi }{2})=\cos \alpha ,\alpha =3-\frac{\pi }{2}\in (1.429,1.43)\mathrm{.}$$$$b=\cos 5=\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(2\pi -(2\pi -5))=\cos \beta ,\beta =2\pi -5\in (1.28,1.284)\mathrm{.}$$

Так как $\alpha >\beta$ и $\cos$ убывает на $[0,\pi ]$, получаем $\cos \alpha <\cos \beta$, то есть

$$\boxed{{\displaystyle a<b}}\mathrm{.}$$

(контроль: $\sin 3\approx 0.141,\cos 5\approx 0.284$.)

Итог:

$$\boxed{{\displaystyle \text{а) }a<b;\text{б) }a>b;\text{в) }a>b;\text{г) }a<b\mathrm{.}}}$$