ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.41 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Расположите в порядке возрастания числа:

а) $\sin 2; \sin 3; \cos 4; \cos 5$;

б) $\cos 3; \cos 4; \cos 6; \cos 7$;

в) $\sin 3; \sin 4; \sin 6; \sin 7$;

г) $\cos 2; \cos 3; \sin 4; \sin 5$

Расположить в порядке возрастания числа:

а) $\sin 2; \sin 3; \cos 4; \cos 5$;

Числа $2$ и $3$ лежат во II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < 3 < \pi;$$ $$\sin t > 0;$$

Число $4$ лежит в III четверти:

$$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2};$$ $$\cos t < 0;$$

Число $5$ лежит в IV четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi;$$ $$\cos t > 0;$$

Расстояние до точек максимума:

$$y_1 = \left| \frac{\pi}{2} — 2 \right| \approx 0.5;$$ $$y_2 = \left| \frac{\pi}{2} — 3 \right| \approx 1.5;$$ $$x_4 = |2\pi — 5| \approx 1;$$

Ответ: $\cos 4; \sin 3; \cos 5; \sin 2$.

б) $\cos 3; \cos 4; \cos 6; \cos 7$;

Число $3$ лежит во II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 3 < \pi;$$ $$\cos t < 0;$$

Число $4$ лежит в III четверти:

$$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2};$$ $$\cos t < 0;$$

Число $6$ лежит в IV четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi;$$ $$\cos t > 0;$$

Число $7$ лежит в I четверти:

$$2\pi < 7 < \frac{5\pi}{2};$$ $$\cos t > 0;$$

Расстояние до точек максимума:

$$x_1 = \left| \frac{\pi}{2} — 3 \right| \approx 1.5;$$ $$x_2 = \left| \frac{3\pi}{2} — 4 \right| \approx 0.5;$$ $$x_3 = |2\pi — 6| \approx 0;$$ $$x_4 = |2\pi — 7| \approx 1;$$

Ответ: $\cos 3; \cos 4; \cos 7; \cos 6$.

в) $\sin 3; \sin 4; \sin 6; \sin 7$;

Число $3$ лежит во II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 3 < \pi;$$ $$\sin t > 0;$$

Число $4$ лежит в III четверти:

$$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2};$$ $$\sin t < 0;$$

Число $6$ лежит в IV четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi;$$ $$\sin t \leq 0;$$

Число $7$ лежит в I четверти:

$$2\pi < 7 < \frac{5\pi}{2};$$ $$\sin t > 0;$$

Расстояние до точек максимума:

$$y_1 = \left| \frac{\pi}{2} — 3 \right| \approx 1.5;$$ $$y_2 = | \pi — 4 | \approx 1;$$ $$y_3 = | 2\pi — 6 | \approx 0;$$ $$y_4 = \left| \frac{5\pi}{2} — 7 \right| \approx 0.5;$$

Ответ: $\sin 4; \sin 6; \sin 3; \sin 7$.

г) $\cos 2; \cos 3; \sin 4; \sin 5$;

Числа $2$ и $3$ лежат во II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < 3 < \pi;$$ $$\cos t < 0;$$

Число $4$ лежит в III четверти:

$$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2};$$ $$\sin t < 0;$$

Число $5$ лежит в IV четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi;$$ $$\sin t < 0;$$

Расстояние до точек максимума:

$$x_1 = \left| \frac{\pi}{2} — 2 \right| \approx 0.5;$$ $$x_2 = \left| \frac{\pi}{2} — 3 \right| \approx 1.5;$$ $$y_3 = | \pi — 4 | \approx 0.9;$$ $$y_4 = | 2\pi — 5 | \approx 1.2;$$

Ответ: $\cos 3; \sin 5; \sin 4; \cos 2$.

Необходимо расположить выражения для синусов и косинусов в порядке возрастания их значений.

а) $\sin 2; \sin 3; \cos 4; \cos 5$

Шаг 1: Определим четверти для каждого числа.

• Число $2$ (в радианах) лежит во II четверти:

  $$\frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 2 < 3.14 \approx \pi$$

  В II четверти синус положителен: $\sin t > 0$.

• Число $3$ лежит также во II четверти:

  $$\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$$

  В II четверти синус также положителен: $\sin t > 0$.

• Число $4$ лежит в III четверти:

  $$\pi \approx 3.14 < 4 < \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$$

  В III четверти косинус отрицателен: $\cos t < 0$.

• Число $5$ лежит в IV четверти:

  $$\frac{3\pi}{2} \approx 4.71 < 5 < 2\pi \approx 6.28$$

  В IV четверти косинус положителен: $\cos t > 0$.

Шаг 2: Оценим значения синусов и косинусов для каждого числа.

• Для $\sin 2$: $2$ — это угол во II четверти, где синус положителен. Однако, значение $\sin 2$ ближе к нулю, чем к 1, так как $2$ не так далеко от $\frac{\pi}{2}$, то есть максимума синуса. Ожидаемое значение:

  $$\sin 2 \approx 0.909$$

• Для $\sin 3$: $3$ — это угол во II четверти, где синус положителен, и значение синуса будет больше, чем для $\sin 2$, так как угол $3$ ближе к $\pi$. Ожидаемое значение:

  $$\sin 3 \approx 0.141$$

• Для $\cos 4$: $4$ — это угол в III четверти, где косинус отрицателен, и значение будет отрицательным. Поскольку угол $4$ находится на расстоянии от $\pi$, которое не слишком велико, значение косинуса будет не очень большое по модулю. Ожидаемое значение:

  $$\cos 4 \approx -0.653$$

• Для $\cos 5$: $5$ — это угол в IV четверти, где косинус положителен. Поскольку угол $5$ находится ближе к $2\pi$, значение косинуса будет меньше 1. Ожидаемое значение:

  $$\cos 5 \approx 0.283$$

Шаг 3: Расставим значения в порядке возрастания.

На основе расчетных значений:

$$\cos 4\approx -0.653,\sin 3\approx 0.141,$$

$$\cos 4 \approx -0.653, \quad \sin 3 \approx 0.141, \quad \cos 5 \approx 0.283, \quad \sin 2 \approx 0.909$$

Ответ: $\cos 4; \sin 3; \cos 5; \sin 2$.

б) $\cos 3; \cos 4; \cos 6; \cos 7$

Шаг 1: Определим четверти для каждого числа.

• Число $3$ лежит во II четверти:

  $$\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$$

  В II четверти косинус отрицателен: $\cos t < 0$.

• Число $4$ лежит в III четверти:

  $$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$$

  В III четверти косинус отрицателен: $\cos t < 0$.

• Число $6$ лежит в IV четверти:

  $$\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$$

  В IV четверти косинус положителен: $\cos t > 0$.

• Число $7$ лежит в I четверти:

  $$2\pi < 7 < \frac{5\pi}{2}$$

  В I четверти косинус положителен: $\cos t > 0$.

Шаг 2: Оценим значения косинусов для каждого числа.

• Для $\cos 3$: $3$ — это угол в II четверти, где косинус отрицателен, и значение косинуса будет небольшим по модулю. Ожидаемое значение:

  $$\cos 3 \approx -0.990$$

• Для $\cos 4$: $4$ — это угол в III четверти, где косинус отрицателен. Значение косинуса будет близким к нулю. Ожидаемое значение:

  $$\cos 4 \approx -0.653$$

• Для $\cos 6$: $6$ — это угол в IV четверти, где косинус положителен. Поскольку угол $6$ ближе к $2\pi$, значение косинуса будет положительным, но не слишком большим. Ожидаемое значение:

  $$\cos 6 \approx 0.960$$

• Для $\cos 7$: $7$ — это угол в I четверти, где косинус положителен. Значение косинуса будет также близким к 1. Ожидаемое значение:

  $$\cos 7 \approx 0.753$$

Шаг 3: Расставим значения в порядке возрастания.

На основе расчетных значений:

$$\cos 3\approx -0.990,\cos 4\approx -0.653,$$

$$\cos 3 \approx -0.990, \quad \cos 4 \approx -0.653, \quad \cos 7 \approx 0.753, \quad \cos 6 \approx 0.960$$

Ответ: $\cos 3; \cos 4; \cos 7; \cos 6$.

в) $\sin 3; \sin 4; \sin 6; \sin 7$

Шаг 1: Определим четверти для каждого числа.

• Число $3$ лежит во II четверти:

  $$\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$$

  В II четверти синус положителен: $\sin t > 0$.

• Число $4$ лежит в III четверти:

  $$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$$

  В III четверти синус отрицателен: $\sin t < 0$.

• Число $6$ лежит в IV четверти:

  $$\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$$

  В IV четверти синус отрицателен: $\sin t < 0$.

• Число $7$ лежит в I четверти:

  $$2\pi < 7 < \frac{5\pi}{2}$$

  В I четверти синус положителен: $\sin t > 0$.

Шаг 2: Оценим значения синусов для каждого числа.

• Для $\sin 3$: $3$ — это угол во II четверти, где синус положителен. Значение синуса будет маленьким. Ожидаемое значение:

  $$\sin 3 \approx 0.141$$

• Для $\sin 4$: $4$ — это угол в III четверти, где синус отрицателен. Ожидаемое значение:

  $$\sin 4 \approx -0.756$$

• Для $\sin 6$: $6$ — это угол в IV четверти, где синус отрицателен. Ожидаемое значение:

  $$\sin 6 \approx -0.279$$

• Для $\sin 7$: $7$ — это угол в I четверти, где синус положителен. Ожидаемое значение:

  $$\sin 7 \approx 0.657$$

Шаг 3: Расставим значения в порядке возрастания.

На основе расчетных значений:

$$\sin 4\approx -0.756,\sin 6\approx -0.279,$$

$$\sin 4 \approx -0.756, \quad \sin 6 \approx -0.279, \quad \sin 3 \approx 0.141, \quad \sin 7 \approx 0.657$$

Ответ: $\sin 4; \sin 6; \sin 3; \sin 7$.

г) $\cos 2; \cos 3; \sin 4; \sin 5$

Шаг 1: Определим четверти для каждого числа.

• Число $2$ лежит во II четверти:

  $$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$$

  В II четверти косинус отрицателен: $\cos t < 0$.

• Число $3$ лежит в II четверти:

  $$\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$$

  В II четверти косинус также отрицателен: $\cos t < 0$.

• Число $4$ лежит в III четверти:

  $$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$$

  В III четверти синус отрицателен: $\sin t < 0$.

• Число $5$ лежит в IV четверти:

  $$\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$$

  В IV четверти синус отрицателен: $\sin t < 0$.

Шаг 2: Оценим значения синусов и косинусов для каждого числа.

• Для $\cos 2$: $2$ — это угол в II четверти, где косинус отрицателен. Ожидаемое значение:

  $$\cos 2 \approx -0.416$$

• Для $\cos 3$: $3$ — это угол в II четверти, где косинус отрицателен. Ожидаемое значение:

  $$\cos 3 \approx -0.990$$

• Для $\sin 4$: $4$ — это угол в III четверти, где синус отрицателен. Ожидаемое значение:

  $$\sin 4 \approx -0.756$$

• Для $\sin 5$: $5$ — это угол в IV четверти, где синус отрицателен. Ожидаемое значение:

  $$\sin 5 \approx -0.988$$

Шаг 3: Расставим значения в порядке возрастания.

На основе расчетных значений:

$$\cos 3\approx -0.990,\sin 5\approx -0.988,$$

$$\cos 3 \approx -0.990, \quad \sin 5 \approx -0.988, \quad \sin 4 \approx -0.756, \quad \cos 2 \approx -0.416$$

Ответ: $\cos 3; \sin 5; \sin 4; \cos 2$.