ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.43 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\sin t > 0$;

б) $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$;

в) $\sin t < 0$;

г) $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решить неравенство:

а) $\sin t > 0$;

Дуга ограничена точками:
$M_1(1; 0) = M_1(0);$
$M_2(-1; 0) = M_2(\pi);$

Ответ: $2\pi n < t < \pi + 2\pi n$.

б) $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Дуга ограничена точками:
$M_1\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{2\pi}{3}\right) = M_1\left(-\frac{4\pi}{3}\right);$
$M_2\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{\pi}{3}\right);$

Ответ: $-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

в) $\sin t < 0$;

Дуга ограничена точками:
$M_1(-1; 0) = M_1(\pi) = M_1(-\pi);$
$M_2(1; 0) = M_2(0);$

Ответ: $-\pi + 2\pi n < t < 2\pi n$.

г) $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Дуга ограничена точками:
$M_1\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{3}\right);$
$M_2\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{2\pi}{3}\right);$

Ответ: $\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

а) $\sin t > 0$

Шаг 1: Определим, где синус положителен.

Функция $\sin t$ имеет положительные значения на интервале от $0$ до $\pi$ в пределах одного периода $[0, 2\pi]$, а также повторяется с периодичностью $2\pi$. То есть, для каждого целого числа $n$ синус будет положителен на интервале:

$$(2\pi n, \pi + 2\pi n)$$

Шаг 2: Выводим ответ.

Ответ для данного неравенства:

$$2\pi n < t < \pi + 2\pi n$$

Где $n$ — целое число.

б) $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1: Найдем точки, где $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Мы знаем, что $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ при $t = \frac{\pi}{3}$ и $t = \frac{2\pi}{3}$ в пределах одного периода $[0, 2\pi]$. Период синуса составляет $2\pi$, так что аналогичные значения будут повторяться через каждое $2\pi$.

• Для первого значения $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$, мы получаем точки $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.
• Для второго значения $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$, аналогично, получаем точки $t = -\frac{4\pi}{3} + 2\pi n$ и $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Шаг 2: Изобразим неравенство.

Неравенство $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$ означает, что синус должен быть меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. В пределах одного периода мы видим, что синус больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$ между точками $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$. Таким образом, решение для интервала $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$ — это все промежутки между точками, когда $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а именно:

$$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 3: Выводим ответ.

Ответ для данного неравенства:

$$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

в) $\sin t < 0$

Шаг 1: Определим, где синус отрицателен.

Синус отрицателен на интервале $[\pi, 2\pi]$ в пределах одного периода. То есть, для каждого целого числа $n$ синус будет отрицателен на интервале:

$$(\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$$

Шаг 2: Выводим ответ.

Ответ для данного неравенства:

$$-\pi + 2\pi n < t < 2\pi n$$

Где $n$ — целое число.

г) $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1: Найдем точки, где $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Аналогично пункту (б), $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ при $t = \frac{\pi}{3}$ и $t = \frac{2\pi}{3}$ в пределах одного периода. Период синуса — $2\pi$, поэтому аналогичные значения будут повторяться через каждое $2\pi$.

Шаг 2: Изобразим неравенство.

Неравенство $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$ означает, что синус должен быть больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. В пределах одного периода синус больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на интервале между точками $t = \frac{\pi}{3}$ и $t = \frac{2\pi}{3}$. Таким образом, решение для неравенства $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$ будет на интервале:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 3: Выводим ответ.

Ответ для данного неравенства:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Итоговые ответы:

• Для $\sin t > 0$: $2\pi n < t < \pi + 2\pi n$
• Для $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$: $-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
• Для $\sin t < 0$: $-\pi + 2\pi n < t < 2\pi n$
• Для $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$: $\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Здесь $n$ — целое число.