ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.44 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\cos t > 0$

б) $\cos t < \frac{\sqrt{2}}{2}$

в) $\cos t < 0$

г) $\cos t>\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решить неравенство:

а) $\cos t > 0$

Дуга ограничена точками:

$$M_1(0; -1) = M_1\left(\frac{3\pi}{2}\right) = M_1\left(-\frac{\pi}{2}\right);$$ $$M_2(0; 1) = M_2\left(\frac{\pi}{2}\right);$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

б) $\cos t < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Дуга ограничена точками:

$$M_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{4}\right);$$ $$M_2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_2\left(\frac{7\pi}{4}\right);$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n.$$

в) $\cos t < 0$

Дуга ограничена точками:

$$M_1(0; 1) = M_1\left(\frac{\pi}{2}\right);$$ $$M_2(0; -1) = M_2\left(\frac{3\pi}{2}\right);$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

г) $\cos t > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Дуга ограничена точками:

$$M_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_1\left(\frac{7\pi}{4}\right) = M_1\left(-\frac{\pi}{4}\right);$$ $$M_2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_2\left(\frac{\pi}{4}\right);$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

а) $\cos t > 0$

Для того чтобы решить неравенство $\cos t > 0$, нужно понять, когда косинус угла $t$ положителен. Косинус имеет положительные значения в интервалах, соответствующих первой и четвертой четвертям единичной окружности. Рассмотрим график функции $\cos t$:

• Косинус функции положителен в интервалах от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, а также в интервалах с шагом $2\pi$, так как косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$.

Таким образом, ответ на неравенство $\cos t > 0$ будет выражаться интервалами вида:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

б) $\cos t < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Для решения этого неравенства нужно найти такие значения $t$, при которых косинус угла меньше чем $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Чтобы найти такие значения, нужно сначала выяснить, когда $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для этого определим такие углы $t$, где $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Из тригонометрии известно, что:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

А так как косинус имеет симметричную форму относительно оси $x$, то $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ при углах $t = \frac{\pi}{4}$ и $t = \frac{7\pi}{4}$ (при переходе на другие обороты окружности).

Следовательно, неравенство $\cos t < \frac{\sqrt{2}}{2}$ будет выполняться в промежутке между углами $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$ на единичной окружности. Этот интервал повторяется через период $2\pi$, поэтому общий вид решения:

$$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

в) $\cos t < 0$

Чтобы решить неравенство $\cos t < 0$, нужно найти, на каких интервалах косинус отрицателен. Косинус отрицателен в интервалах второй и третьей четверти единичной окружности. На графике $\cos t$ видим, что косинус отрицателен между углами $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$.

Таким образом, решение неравенства $\cos t < 0$ на интервале $\left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right)$, с периодичностью $2\pi$, так как косинус периодичен:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

г) $\cos t > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Для решения этого неравенства мы ищем такие $t$, при которых косинус угла больше чем $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Мы уже нашли, что $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ при углах $t = \frac{\pi}{4}$ и $t = \frac{7\pi}{4}$.

Так как косинус больше $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в первом и четвертом квадранте, ответ будет в интервале между углами $-\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{4}$. Этот интервал повторяется с периодом $2\pi$, поэтому решение:

$$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.$$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$