ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите синус, косинус и тангенс числа t, если:

а) $t = \frac{13\pi}{6}$;

б) $t = -\frac{8\pi}{3}$;

в) $t = \frac{23\pi}{6}$;

г) $t = -\frac{11\pi}{4}$

Найти синус, косинус и тангенс числа $t$, если:

а) $t = \frac{13\pi}{6}$;

$$\sin t = \sin \frac{13\pi}{6} = \sin \left( \frac{13\pi}{6} — 2\pi \right) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2};$$ $$\cos t = \cos \frac{13\pi}{6} = \cos \left( \frac{13\pi}{6} — 2\pi \right) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\tg t = \tg \frac{13\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}};$$

б) $t = -\frac{8\pi}{3}$;

$$\sin t = \sin \left( -\frac{8\pi}{3} \right) = \sin \left( 4\pi — \frac{8\pi}{3} \right) = \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\cos t = \cos \left( -\frac{8\pi}{3} \right) = \cos \left( 4\pi — \frac{8\pi}{3} \right) = \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2};$$ $$\tg t = \tg \left( -\frac{8\pi}{3} \right) = \sqrt{3};$$

в) $t = \frac{23\pi}{6}$;

$$\sin t = \sin \frac{23\pi}{6} = \sin \left( \frac{23\pi}{6} — 2\pi \right) = \sin \frac{11\pi}{6} = -\frac{1}{2};$$ $$\cos t = \cos \frac{23\pi}{6} = \cos \left( \frac{23\pi}{6} — 2\pi \right) = \cos \frac{11\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\tg t = \tg \frac{23\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}};$$

г) $t = -\frac{11\pi}{4}$;

$$\sin t = \sin \left( -\frac{11\pi}{4} \right) = \sin \left( 4\pi — \frac{11\pi}{4} \right) = \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos t = \cos \left( -\frac{11\pi}{4} \right) = \cos \left( 4\pi — \frac{11\pi}{4} \right) = \cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\tg t = \tg \left( -\frac{11\pi}{4} \right) = 1$$

Полезные факты:

• $\sin(\theta+2\pi k)=\sin\theta,\ \cos(\theta+2\pi k)=\cos\theta$ (период $2\pi$).
• $\tg(\theta+\pi k)=\tg\theta$ (период $\pi$).
• Знаки по четвертям (ASTC):
  I: все $+$; II: $\sin+$, $\cos-$, $\tg-$;
  III: $\sin-$, $\cos-$, $\tg+$; IV: $\sin-$, $\cos+$, $\tg-$.
• Точные значения:
  $\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,\ \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},\ \tg\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt3}\ (=\frac{\sqrt3}{3})$;
  $\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\ \tg\frac{\pi}{4}=1$;
  $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\ \cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\ \tg\frac{\pi}{3}=\sqrt3$.

а) $t=\dfrac{13\pi}{6}$

1) Приведение по периодичности.
$2\pi=\dfrac{12\pi}{6}$. Тогда

$$\dfrac{13\pi}{6}-2\pi=\dfrac{13\pi}{6}-\dfrac{12\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}.$$

Следовательно, $\sin\dfrac{13\pi}{6}=\sin\dfrac{\pi}{6}$, $\cos\dfrac{13\pi}{6}=\cos\dfrac{\pi}{6}$, $\tg\dfrac{13\pi}{6}=\tg\dfrac{\pi}{6}$.

2) Четверть. $\dfrac{\pi}{6}\in(0,\tfrac{\pi}{2})$ — I четверть → все знаки положительны.

3) Опорный угол. Уже $\dfrac{\pi}{6}$.

4) Значения.

$$\sin t=\tfrac12,\qquad \cos t=\tfrac{\sqrt3}{2},\qquad \tg t=\tfrac{1}{\sqrt3}\ \Big(=\tfrac{\sqrt3}{3}\Big).$$

б) $t=-\dfrac{8\pi}{3}$

1) Приведение по периодичности. Хотим загнать в $[0,2\pi)$. Прибавим $4\pi=\dfrac{12\pi}{3}$:

$$-\dfrac{8\pi}{3}+4\pi=-\dfrac{8\pi}{3}+\dfrac{12\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}.$$

Значит, $\sin(-\tfrac{8\pi}{3})=\sin(\tfrac{4\pi}{3})$ и т.д. (то же самое даёт «как в тексте»: $4\pi-\tfrac{8\pi}{3}=\tfrac{4\pi}{3}$).

2) Четверть. $\dfrac{4\pi}{3}\in(\pi,\tfrac{3\pi}{2})$ — III четверть → $\sin-$, $\cos-$, $\tg+$.

3) Опорный угол.

$$\dfrac{4\pi}{3}-\pi=\dfrac{\pi}{3}.$$

4) Значения через опорный угол и знаки.

$$\sin t=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2},\qquad \cos t=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac12.$$

Проверяем тангенс через отношение:

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}= \frac{-\frac{\sqrt3}{2}}{-\frac12}=\sqrt3\quad(\text{плюс в III четверти}).$$

Итог: $\sin t=-\dfrac{\sqrt3}{2},\ \cos t=-\dfrac12,\ \tg t=\sqrt3.$

в) $t=\dfrac{23\pi}{6}$

1) Приведение по периодичности.
$2\pi=\dfrac{12\pi}{6}$, значит

$$\dfrac{23\pi}{6}-2\pi=\dfrac{23\pi}{6}-\dfrac{12\pi}{6}=\dfrac{11\pi}{6}.$$

2) Четверть. $\dfrac{11\pi}{6}\in(\tfrac{3\pi}{2},2\pi)$ — IV четверть → $\sin-$, $\cos+$, $\tg-$.

3) Опорный угол.

$$2\pi-\dfrac{11\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}.$$

4) Значения.

$$\sin t=-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2},\cos t=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$

$$\sin t=-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac12,\qquad \cos t=\ \ \cos\frac{\pi}{6}=\ \ \frac{\sqrt3}{2},\qquad \tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{-\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}}=-\frac{1}{\sqrt3}\ \Big(=-\frac{\sqrt3}{3}\Big).$$

г) $t=-\dfrac{11\pi}{4}$

1) Приведение по периодичности. Можно прибавить $4\pi=\dfrac{16\pi}{4}$ (две полные окружности):

$$-\dfrac{11\pi}{4}+4\pi=-\dfrac{11\pi}{4}+\dfrac{16\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}.$$

(Именно так сделано в твоём тексте.)

2) Четверть. $\dfrac{5\pi}{4}\in(\pi,\tfrac{3\pi}{2})$ — III четверть → $\sin-$, $\cos-$, $\tg+$.

3) Опорный угол.

$$\dfrac{5\pi}{4}-\pi=\dfrac{\pi}{4}.$$

4) Значения.

$$\sin t=-\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2},\qquad \cos t=-\cos\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2},$$ $$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{-\frac{\sqrt2}{2}}{-\frac{\sqrt2}{2}}=1\quad(\text{плюс в III четверти}).$$

Итог:

а) $\displaystyle \sin t=\frac12,\ \cos t=\frac{\sqrt3}{2},\ \tg t=\frac{1}{\sqrt3}\;(=\frac{\sqrt3}{3})$.

б) $\displaystyle \sin t=-\frac{\sqrt3}{2},\ \cos t=-\frac12,\ \tg t=\sqrt3$.

в) $\displaystyle \sin t=-\frac12,\ \cos t=\frac{\sqrt3}{2},\ \tg t=-\frac{1}{\sqrt3}\;(=-\frac{\sqrt3}{3})$.

г) $\displaystyle \sin t=-\frac{\sqrt2}{2},\ \cos t=-\frac{\sqrt2}{2},\ \tg t=1$.