ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\sin (-\frac{3\pi }{4})+\cos (-\frac{\pi }{4})+\sin \frac{\pi }{4}\cdot \cos \frac{\pi }{2}+\cos 0\cdot \sin \frac{\pi }{2}$

б) $\cos \frac{5\pi }{3}+\cos \frac{4\pi }{3}+\sin \frac{3\pi }{2}\cdot \sin \frac{5\pi }{8}\cdot \cos \frac{3\pi }{2}$

Вычислить значение:

а) $\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \sin\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 \cdot \sin\frac{\pi}{2} =$

$= -\sin\frac{3\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0 + 1 \cdot 1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 + 1 = 1;$

Ответ: 1.

б) $\cos\frac{5\pi}{3} + \cos\frac{4\pi}{3} + \sin\frac{3\pi}{2} \cdot \sin\frac{5\pi}{8} \cdot \cos\frac{3\pi}{2} = \frac{1}{2} — \frac{1}{2} + (-1) \cdot \sin\frac{5\pi}{8} \cdot 0 = 0;$

Ответ: 0.

Вычислить значение.

а)

$$\sin\!\left(-\frac{3\pi}{4}\right)+\cos\!\left(-\frac{\pi}{4}\right) +\sin\frac{\pi}{4}\cdot \cos\frac{\pi}{2} +\cos 0\cdot \sin\frac{\pi}{2}.$$

Шаг 1. Чётность/нечётность

• $\sin(-x)=-\sin x$ (нечётная), значит $\sin\!\left(-\frac{3\pi}{4}\right)=-\sin\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)$.
• $\cos(-x)=\cos x$ (чётная), значит $\cos\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

После этого:

$$-\sin\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)+\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sin\frac{\pi}{4}\cdot \cos\frac{\pi}{2}+\cos 0\cdot \sin\frac{\pi}{2}.$$

Шаг 2. Точные значения на единичной окружности

• $\displaystyle \sin\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$ (II четверть, синус $>0$).
• $\displaystyle \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$.
• $\displaystyle \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$.
• $\displaystyle \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$.
• $\displaystyle \cos 0=1$.
• $\displaystyle \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$.

Шаг 3. Подстановка и упрощение

$$-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}+\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)\!\cdot 0+1\cdot 1 =0+0+1=1.$$

Ответ к а): $1$.

б)

$$\cos\frac{5\pi}{3}+\cos\frac{4\pi}{3} +\sin\frac{3\pi}{2}\cdot \sin\frac{5\pi}{8}\cdot \cos\frac{3\pi}{2}.$$

Шаг 1. Косинусы через формулы приведения

• $\displaystyle \cos\frac{5\pi}{3}=\cos\!\left(2\pi-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$ (IV четверть, косинус $>0$).
• $\displaystyle \cos\frac{4\pi}{3}=\cos\!\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac12$ (III четверть, косинус $<0$).

Шаг 2. Значения синуса и косинуса в $3\pi/2$

• $\displaystyle \sin\frac{3\pi}{2}=-1$.
• $\displaystyle \cos\frac{3\pi}{2}=0$.

(Замечание: точное значение $\sin\frac{5\pi}{8}$ можно найти, но оно не понадобится, так как множится на ноль. Для полноты: $\sin\frac{5\pi}{8}=\sin\!\left(\pi-\frac{3\pi}{8}\right)=\sin\frac{3\pi}{8}=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right)=\cos\frac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$.)

Шаг 3. Подстановка и упрощение

$$\frac12-\frac12+(-1)\cdot \sin\frac{5\pi}{8}\cdot 0 =0+0=0.$$

Ответ к б): $0$.