Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 60.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
При каких значениях параметра m уравнение mх — х + 1 = m²:
а) имеет ровно один корень;
б) не имеет корней;
в) имеет более одного корня?
Дано уравнение с параметром \( m \):
\( mx — x + 1 = m^2; \)
\( mx — x = m^2 — 1; \)
\( x(m — 1) = (m + 1)(m — 1); \)
а) Уравнение имеет ровно один корень, если:
\( m — 1 \ne 0; \)
\( m \ne 1; \)
Ответ: \( m \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) \).
б) Уравнение имеет корни при всех значениях \( m \);
Ответ: \( m \in \) ø.
в) Уравнение имеет более одного корня, если:
\( m — 1 = 0; \)
\( m = 1; \)
Ответ: \( m \in \{1\} \).
Дано уравнение:
\( mx — x + 1 = m^2 \)
Шаг 1: Переносим \( 1 \) в правую часть уравнения
\( mx — x = m^2 — 1 \)
Шаг 2: Выносим \( x \) за скобки в левой части
\( x(m — 1) = (m + 1)(m — 1) \)
Шаг 3: Анализируем случаи для \( m — 1 \)
Заметим, что если \( m — 1 = 0 \), то знаменатель слева обращается в ноль. Это требует отдельного анализа.
а) Уравнение имеет ровно один корень
Уравнение имеет ровно один корень, если \( m — 1 \neq 0 \). В этом случае можно разделить обе части уравнения на \( m — 1 \):
\( x = \frac{(m + 1)(m — 1)}{m — 1} \)
При \( m — 1 \neq 0 \) выражение упрощается до:
\( x = m + 1 \)
Таким образом, уравнение имеет ровно один корень при условии:
\( m — 1 \neq 0 \)
Это эквивалентно:
\( m \neq 1 \)
Ответ: \( m \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) \)
б) Уравнение имеет корни при всех значениях \( m \)
Уравнение не может иметь корней при всех значениях \( m \), так как при \( m = 1 \) левая часть уравнения становится равной нулю (\( x(m — 1) = 0 \)), а правая часть не равна нулю (\( (m + 1)(m — 1) = 2 \cdot 0 = 0 \)).
Следовательно, такой случай невозможен.
Ответ: \( m \in \) ø.
в) Уравнение имеет более одного корня
Уравнение имеет более одного корня, если \( m — 1 = 0 \). В этом случае:
\( m — 1 = 0 \)
Отсюда:
\( m = 1 \)
Подставим \( m = 1 \) в исходное уравнение:
\( 1 \cdot x — x + 1 = 1^2 \)
\( 0 \cdot x + 1 = 1 \)
Получаем тождество \( 1 = 1 \), которое выполняется при любом значении \( x \).
Следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней при \( m = 1 \).
Ответ: \( m \in \{1\} \)
