Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 60.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
При каких значениях а неравенство ах² + 4х — 3 + а > 0:
а) выполняется при любых x;
б) не имеет решений?
Дано неравенство с параметром \(a\):
\(ax^2 + 4x — 3 + a > 0;\)
\(ax^2 + 4x + (a — 3) > 0;\)
\(D = 4^2 — 4a \cdot (a — 3) = 16 — 4a^2 + 12a;\)
а) Неравенство выполняется при любых \(x\), если:
\(16 — 4a^2 + 12a < 0 \quad | : (-4);\)
\(a^2 — 3a — 4 > 0;\)
\(D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25\), тогда:
\(a_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1\) и \(a_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;\)
\((a + 1)(a — 4) > 0;\)
\(a < -1\) или \(a > 4;\)
Ветви параболы направлены вверх при:
\(a > 0;\)
Ответ: \(a \in (4; +\infty).\)
б) Неравенство не имеет решений, если:
\(16 — 4a^2 + 12a < 0 \quad | : (-4);\)
\(a^2 — 3a — 4 > 0;\)
\(D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25\), тогда:
\(a_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1\) и \(a_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;\)
\((a + 1)(a — 4) > 0;\)
\(a < -1\) или \(a > 4;\)
Ветви параболы направлены вниз при:
\(a < 0;\)
Ответ: \(a \in (-\infty; -1).\)
Дано неравенство с параметром \(a\):
\(ax^2 + 4x — 3 + a > 0;\)
Упрощаем выражение:
\(ax^2 + 4x + (a — 3) > 0;\)
Чтобы исследовать это неравенство, рассмотрим дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2 + 4x + (a — 3)\):
\(D = 4^2 — 4a \cdot (a — 3).\)
Раскрываем скобки:
\(D = 16 — 4a^2 + 12a.\)
Теперь рассмотрим условия для выполнения неравенства.
а) Неравенство выполняется при любых \(x\), если:
Для выполнения неравенства при любых \(x\) необходимо, чтобы ветви параболы были направлены вверх (\(a > 0\)) и дискриминант был отрицательным (\(D < 0\)).
Запишем условие отрицательности дискриминанта:
\(16 — 4a^2 + 12a < 0.\)
Разделим обе части на \(-4\) (при этом знак неравенства изменится на противоположный):
\(a^2 — 3a — 4 > 0.\)
Рассмотрим квадратное неравенство \(a^2 — 3a — 4 > 0\). Найдем его корни:
Дискриминант этого квадратного уравнения:
\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.\)
Корни уравнения:
\(a_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 — 5}{2} = -1,\)
\(a_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4.\)
Таким образом, квадратное неравенство \(a^2 — 3a — 4 > 0\) имеет решение:
\((a + 1)(a — 4) > 0.\)
Решение этого неравенства соответствует областям, где произведение положительно:
\(a < -1\) или \(a > 4.\)
С учетом условия \(a > 0\), получаем:
\(a > 4.\)
Ответ: \(a \in (4; +\infty).\)
б) Неравенство не имеет решений, если:
Для того чтобы неравенство не имело решений, необходимо, чтобы ветви параболы были направлены вниз (\(a < 0\)) и дискриминант был отрицательным (\(D < 0\)).
Запишем условие отрицательности дискриминанта:
\(16 — 4a^2 + 12a < 0.\)
Разделим обе части на \(-4\) (при этом знак неравенства изменится на противоположный):
\(a^2 — 3a — 4 > 0.\)
Рассмотрим квадратное неравенство \(a^2 — 3a — 4 > 0\). Найдем его корни:
Дискриминант этого квадратного уравнения:
\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.\)
Корни уравнения:
\(a_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 — 5}{2} = -1,\)
\(a_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4\)
Таким образом, квадратное неравенство \(a^2 — 3a — 4 > 0\) имеет решение:
\((a + 1)(a — 4) > 0.\)
Решение этого неравенства соответствует областям, где произведение положительно:
\(a < -1\) или \(a > 4.\)
С учетом условия \(a < 0\), получаем:
\(a < -1.\)
Ответ: \(a \in (-\infty; -1).\)
