Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 60.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
При каких значениях а:
а) ось симметрии параболы у = 2х² — 3ах + 2 пересекает ось абсцисс левее точки (-3; 0);
б) ось симметрии параболы у = 5х² — 2ах + 2 пересекает ось абсцисс правее точки (4; 0)?
Выяснить при каких значениях a ось симметрии параболы занимает указанное положение;
а) \(y = 2x^2 — 3ax + 2\)
Уравнение оси симметрии параболы:
\(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3a}{2 \cdot 2} = \frac{3a}{4}\)
Ось симметрии лежит левее точки \((-3; 0)\):
\(\frac{3a}{4} < -3\)
Решаем неравенство:
\(3a < -12 \quad ⇒ \quad a < -4\)
Ответ: \(a \in (-\infty; -4)\)
б) \(y = 5x^2 — 2ax + 2\)
Уравнение оси симметрии параболы:
\(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2a}{2 \cdot 5} = \frac{2a}{10} = \frac{a}{5}\)
Ось симметрии лежит правее точки \((4; 0)\):
\(\frac{a}{5} > 4\)
Решаем неравенство:
\(a > 20\)
Ответ: \(a \in (20; +\infty)\)
а) Дана парабола:
\(y = 2x^2 — 3ax + 2\)
Уравнение оси симметрии параболы определяется формулой:
\(x = -\frac{b}{2a}\),
где \(a\) — коэффициент при \(x^2\), \(b\) — коэффициент при \(x\), а \(c\) — свободный член.
В данном случае \(a = 2\), \(b = -3a\), \(c = 2\). Подставим значения \(a\) и \(b\) в формулу:
\(x = -\frac{-3a}{2 \cdot 2}\).
Упростим выражение:
\(x = \frac{3a}{4}\).
Таким образом, уравнение оси симметрии параболы имеет вид:
\(x = \frac{3a}{4}\).
По условию задачи ось симметрии параболы должна лежать левее точки \((-3; 0)\), то есть:
\(\frac{3a}{4} < -3\).
Решим это неравенство. Для начала умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателя. При этом знак неравенства не изменится, так как \(4 > 0\):
\(3a < -12.\)
Теперь поделим обе части неравенства на 3. Знак неравенства снова не изменится, так как \(3 > 0\):
\(a < -4.\)
Таким образом, для того чтобы ось симметрии параболы лежала левее точки \((-3; 0)\), параметр \(a\) должен удовлетворять следующему условию:
\(a \in (-\infty; -4).\)
Ответ: \(a \in (-\infty; -4).\)
б) Дана парабола:
\(y = 5x^2 — 2ax + 2\)
Уравнение оси симметрии параболы определяется формулой:
\(x = -\frac{b}{2a}\),
где \(a\) — коэффициент при \(x^2\), \(b\) — коэффициент при \(x\), а \(c\) — свободный член.
В данном случае \(a = 5\), \(b = -2a\), \(c = 2\). Подставим значения \(a\) и \(b\) в формулу:
\(x = -\frac{-2a}{2 \cdot 5}.\)
Упростим выражение:
\(x = \frac{2a}{10}.\)
Сократим дробь:
\(x = \frac{a}{5}.\)
Таким образом, уравнение оси симметрии параболы имеет вид:
\(x = \frac{a}{5}.\)
По условию задачи ось симметрии параболы должна лежать правее точки \((4; 0)\), то есть:
\(\frac{a}{5} > 4.\)
Решим это неравенство. Для начала умножим обе части на 5, чтобы избавиться от знаменателя. При этом знак неравенства не изменится, так как \(5 > 0\):
\(a > 20.\)
Таким образом, для того чтобы ось симметрии параболы лежала правее точки \((4; 0)\), параметр \(a\) должен удовлетворять следующему условию:
\(a \in (20; +\infty).\)
Ответ: \(a \in (20; +\infty).\)
