Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 60.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
Решите неравенство (относительно x):
а) \(\sqrt{x — 2} \cdot (x — a) \geq 0\);
б) \((6 — x) \cdot \sqrt{x — a} > 0\)
Решить неравенство относительно \(x\):
а) \(\sqrt{x — 2} \cdot (x — a) \geq 0\);
Решением является совокупность:
\(\begin{cases} x — 2 = 0 \\ x — a \geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 2 \\ x \geq a \end{cases};\)
Выражение имеет смысл при:
\(x — 2 \geq 0;\)
\(x \geq 2;\)
Ответ: \(x \in [2; +\infty)\), если \(a \leq 2\);
\(\quad \quad \; x \in \{2\} \cup [a; +\infty)\), если \(a > 2\).
б) \((6 — x) \cdot \sqrt{x — a} > 0\);
Решением является совокупность:
\(\begin{cases} 6 — x > 0 \\ x — a \ne 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 6 \\ x \ne a \end{cases};\)
Выражение имеет смысл при:
\(x — a \geq 0;\)
\(x \geq a;\)
Ответ: \(x \in (a; 6)\), если \(a < 6\);
\(\quad \quad \; x \in ø\), если \(a \geq 6\).
Решить неравенство относительно \(x\):
а) \(\sqrt{x — 2} \cdot (x — a) \geq 0\)
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ):
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\(x — 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2.\)
Теперь рассмотрим произведение \(\sqrt{x — 2} \cdot (x — a)\):
- Корень \(\sqrt{x — 2}\) всегда неотрицателен, то есть \(\sqrt{x — 2} \geq 0\).
- Знак произведения определяется множителем \((x — a)\).
Неравенство \(\sqrt{x — 2} \cdot (x — a) \geq 0\) выполняется, если одновременно выполняются два условия:
\(\begin{cases} x — 2 = 0 \\ x — a \geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 2 \\ x \geq a \end{cases}.\)
Также нужно учитывать область допустимых значений, то есть \(x \geq 2\).
Рассмотрим два случая:
- Если \(a \leq 2\), то \(x \geq 2\) уже включает в себя условие \(x \geq a\). В этом случае решением является:
\(x \in [2; +\infty).\)
- Если \(a > 2\), то \(x = 2\) также удовлетворяет неравенству (так как \(\sqrt{x — 2} = 0\) при \(x = 2\)), а для \(x > 2\) должно выполняться \(x \geq a\). В этом случае решением является:
\(x \in \{2\} \cup [a; +\infty).\)
Ответ:
\(x \in [2; +\infty)\), если \(a \leq 2\);
\(x \in \{2\} \cup [a; +\infty)\), если \(a > 2\).
б) \((6 — x) \cdot \sqrt{x — a} > 0\)
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ):
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\(x — a \geq 0 \Rightarrow x \geq a.\)
Теперь рассмотрим произведение \((6 — x) \cdot \sqrt{x — a}\):
- Корень \(\sqrt{x — a}\) всегда неотрицателен, то есть \(\sqrt{x — a} \geq 0\).
- Произведение будет положительным, если \(6 — x > 0\) и \(\sqrt{x — a} > 0\), то есть \(x — a > 0\).
Решением является совокупность условий:
\(\begin{cases} 6 — x > 0 \\ x — a > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 6 \\ x > a \end{cases}.\)
С учетом ОДЗ (\(x \geq a\)), совокупность условий принимает вид:
\(x \in (a; 6).\)
Рассмотрим два случая:
- Если \(a < 6\), то \(x \in (a; 6).\)
- Если \(a \geq 6\), то интервал \((a; 6)\) не существует, так как нижняя граница больше или равна верхней. В этом случае решением является:
\(x \in ø.\)
Ответ:
\(x \in (a; 6)\), если \(a < 6\);
\(x \in ø\), если \(a \geq 6\).
