Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 60.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
Найдите наименьшее целочисленное значение параметра b, при котором уравнение имеет два корня:
а) x² — 2bх + b² — 4b + 3 = 0;
б) x² + 2(b — 2)х + b² — 10b + 12 = 0.
Найти наименьшее целочисленное значение параметра \( b \),
при котором уравнение имеет два корня:
а) \( x^2 — 2bx + b^2 — 4b + 3 = 0 \);
Найдем дискриминант:
\( D = (2b)^2 — 4 \cdot (b^2 — 4b + 3) \);
\( D = 4b^2 — 4(b^2 — 4b + 3) = 4(4b — 3) \);
Уравнение имеет два корня при:
\( 4b — 3 \geq 0 \);
\( 4b \geq 3 \);
\( b \geq \frac{3}{4} \);
Ответ: 1.
б) \( x^2 + 2(b — 2)x + b^2 — 10b + 12 = 0 \);
Найдем дискриминант:
\( D = 2^2 \cdot (b — 2)^2 — 4 \cdot (b^2 — 10b + 12) \);
\( D = 4(b^2 — 4b + 4) — 4(b^2 — 10b + 12) = 4(6b — 8) \);
Уравнение имеет два корня при:
\( 6b — 8 \geq 0 \);
\( 3b — 4 \geq 0 \);
\( 3b \geq 4 \);
\( b \geq \frac{4}{3} \);
Ответ: 2.
Найти наименьшее целочисленное значение параметра \( b \),
при котором уравнение имеет два корня:
а) \( x^2 — 2bx + b^2 — 4b + 3 = 0 \)
Для того чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным: \( D \geq 0 \).
Найдем дискриминант уравнения:
\( D = (-2b)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (b^2 — 4b + 3) \)
Выполним первое действие: возведем \(-2b\) в квадрат:
\( (-2b)^2 = 4b^2 \)
Подставим это значение в формулу дискриминанта:
\( D = 4b^2 — 4 \cdot (b^2 — 4b + 3) \)
Раскроем скобки:
\( D = 4b^2 — 4b^2 + 16b — 12 \)
Упростим выражение, сократив \( 4b^2 — 4b^2 \):
\( D = 16b — 12 \)
Вынесем за скобки общий множитель 4:
\( D = 4(4b — 3) \)
Для наличия двух корней требуется \( D \geq 0 \), то есть:
\( 4(4b — 3) \geq 0 \)
Так как \( 4 > 0 \), знак выражения \( 4b — 3 \) определяет знак всего дискриминанта. Поэтому:
\( 4b — 3 \geq 0 \)
Решим это неравенство:
\( 4b \geq 3 \)
\( b \geq \frac{3}{4} \)
Так как \( b \) должно быть целым числом, то наименьшее целое значение \( b \), удовлетворяющее неравенству \( b \geq \frac{3}{4} \), равно:
\( b = 1 \)
Ответ: 1.
б) \( x^2 + 2(b — 2)x + b^2 — 10b + 12 = 0 \)
Для того чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным: \( D \geq 0 \).
Найдем дискриминант уравнения:
\( D = (2(b — 2))^2 — 4 \cdot 1 \cdot (b^2 — 10b + 12) \)
Выполним первое действие: раскроем скобки и возведем \( 2(b — 2) \) в квадрат:
\( (2(b — 2))^2 = 4(b — 2)^2 \)
Подставим это значение в формулу дискриминанта:
\( D = 4(b — 2)^2 — 4(b^2 — 10b + 12) \)
Раскроем квадрат \( (b — 2)^2 \):
\( (b — 2)^2 = b^2 — 4b + 4 \)
Подставим это значение в \( D \):
\( D = 4(b^2 — 4b + 4) — 4(b^2 — 10b + 12) \)
Раскроем скобки:
\( D = 4b^2 — 16b + 16 — 4b^2 + 40b — 48 \)
Упростим выражение, сократив \( 4b^2 — 4b^2 \):
\( D = -16b + 40b + 16 — 48 \)
\( D = 24b — 32 \)
Вынесем за скобки общий множитель 4:
\( D = 4(6b — 8) \)
Для наличия двух корней требуется \( D \geq 0 \), то есть:
\( 4(6b — 8) \geq 0 \)
Так как \( 4 > 0 \), знак выражения \( 6b — 8 \) определяет знак всего дискриминанта. Поэтому:
\( 6b — 8 \geq 0 \)
Решим это неравенство:
\( 6b \geq 8 \)
\( 3b \geq 4 \)
\( b \geq \frac{4}{3} \)
Так как \( b \) должно быть целым числом, то наименьшее целое значение \( b \), удовлетворяющее неравенству \( b \geq \frac{4}{3} \), равно:
\( b = 2 \)
Ответ: 2.
