Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 60.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
При каких значениях а:
а) вершина параболы у = (За + 1) x² + 2х — 5 лежит внутри четвёртой координатной четверти;
б) вершина параболы у = Зx² + (4а — 1) х + 3 лежит внутри первой координатной четверти?
Выяснить при каких значениях \(a\) вершина параболы лежит внутри указанной координатной четверти;
а) \(y = (3a + 1)x^2 + 2x — 5\);
Абсцисса вершины параболы:
\(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (3a + 1)} = -\frac{1}{3a + 1}\);
Ордината вершины параболы:
\(y = \frac{3a + 1}{(3a + 1)^2} — \frac{2}{3a + 1} — 5 = \frac{1 — 2 — 5(3a + 1)}{3a + 1}\);
\(y = \frac{-1 — 15a — 5}{3a + 1} = \frac{-6 — 15a}{3a + 1} = -\frac{15a + 6}{3a + 1}\);
Вершина лежит внутри четвертой четверти:
\(\begin{cases} -\frac{1}{3a + 1} > 0 \\ -\frac{15a + 6}{3a + 1} < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3a + 1 < 0 \\ 15a + 6 < 0 \end{cases};\)
\(\begin{cases} 3a + 1 < 0 \\ 5a + 2 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a < -\frac{1}{3} \\ a < -0,4 \end{cases} \Rightarrow a < -0,4;\)
Ответ: \(a \in (-\infty; -0,4)\).
б) \(y = 3x^2 + (4a — 1)x + 3\);
Абсцисса вершины параболы:
\(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4a — 1}{2 \cdot 3} = \frac{1 — 4a}{6}\);
Ордината вершины параболы:
\(y = \frac{3(1 — 4a)^2}{36} + \frac{-(1 — 4a)^2}{6} + 3 = \frac{(1 — 4a)^2 — 2(1 — 4a)^2 + 3 \cdot 12}{12}\);
\(y = \frac{36 — (1 — 4a)^2}{12} = \frac{36 — 1 + 8a — 16a^2}{12} = \frac{35 + 8a — 16a^2}{12}\);
Вершина лежит внутри первой четверти:
\(\begin{cases} \frac{1 — 4a}{6} > 0 \\ \frac{35 + 8a — 16a^2}{12} > 0 \end{cases};\)
Из первого неравенства:
\(1 — 4a > 0;\)
\(4a < 1;\)
\(a < 0,25;\)
Из второго неравенства:
\(35 + 8a — 16a^2 > 0;\)
\(16a^2 — 8a — 35 < 0;\)
\(D = 8^2 + 4 \cdot 16 \cdot 35 = 64 + 2\,240 = 2\,304,\) тогда:
\(a_1 = \frac{8 — 48}{2 \cdot 16} = -\frac{40}{32} = -1,25;\)
\(a_2 = \frac{8 + 48}{2 \cdot 16} = \frac{56}{32} = 1,75;\)
\((a + 1,25)(a — 1,75) < 0;\)
\(-1,25 < a < 1,75;\)
Ответ: \(a \in (-1,25; 0,25)\).
Выяснить, при каких значениях \(a\) вершина параболы лежит внутри указанной координатной четверти.
а) \(y = (3a + 1)x^2 + 2x — 5\)
Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле:
\(x = -\frac{b}{2a}\), где \(b = 2\), \(a = 3a + 1\).
Тогда:
\(x = -\frac{2}{2 \cdot (3a + 1)} = -\frac{1}{3a + 1}\).
Ордината вершины параболы вычисляется по формуле подстановки \(x\) в уравнение параболы:
\(y = (3a + 1)x^2 + 2x — 5\).
Подставим \(x = -\frac{1}{3a + 1}\):
\(y = (3a + 1) \cdot \left(-\frac{1}{3a + 1}\right)^2 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{3a + 1}\right) — 5\).
Раскроем скобки:
\(y = \frac{3a + 1}{(3a + 1)^2} — \frac{2}{3a + 1} — 5\).
Приведем к общему знаменателю:
\(y = \frac{1 — 2 — 5(3a + 1)}{3a + 1}\).
Упростим числитель:
\(y = \frac{-1 — 15a — 5}{3a + 1} = \frac{-6 — 15a}{3a + 1} = -\frac{15a + 6}{3a + 1}\).
Для того чтобы вершина параболы находилась в четвертой координатной четверти, необходимо выполнение системы неравенств:
\(\begin{cases} -\frac{1}{3a + 1} > 0 \\ -\frac{15a + 6}{3a + 1} < 0 \end{cases}.\)
Рассмотрим первое неравенство:
\(-\frac{1}{3a + 1} > 0\).
Знак дроби зависит от знака знаменателя, так как числитель равен \(-1\):
\(3a + 1 < 0 \Rightarrow a < -\frac{1}{3}.\)
Рассмотрим второе неравенство:
\(-\frac{15a + 6}{3a + 1} < 0.\)
Так как дробь отрицательна, то числитель и знаменатель должны иметь разные знаки:
\(\begin{cases} 15a + 6 > 0 \\ 3a + 1 < 0 \end{cases}.\)
Из первого неравенства:
\(15a + 6 > 0 \Rightarrow a > -\frac{6}{15} = -\frac{2}{5}.\)
Из второго неравенства:
\(3a + 1 < 0 \Rightarrow a < -\frac{1}{3}.\)
Объединим результаты:
\(a < -\frac{1}{3}\).
Таким образом, \(a \in (-\infty; -0,4).\)
Ответ: \(a \in (-\infty; -0,4)\).
б) \(y = 3x^2 + (4a — 1)x + 3\)
Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле:
\(x = -\frac{b}{2a}\), где \(b = 4a — 1\), \(a = 3\).
Тогда:
\(x = -\frac{4a — 1}{2 \cdot 3} = \frac{1 — 4a}{6}.\)
Ордината вершины параболы вычисляется по формуле подстановки \(x\) в уравнение параболы:
\(y = 3x^2 + (4a — 1)x + 3.\)
Подставим \(x = \frac{1 — 4a}{6}\):
\(y = 3 \cdot \left(\frac{1 — 4a}{6}\right)^2 + (4a — 1) \cdot \frac{1 — 4a}{6} + 3.\)
Вынесем общий знаменатель:
\(y = \frac{3(1 — 4a)^2}{36} + \frac{-(1 — 4a)^2}{6} + 3.\)
Приведем к общему знаменателю:
\(y = \frac{(1 — 4a)^2 — 2(1 — 4a)^2 + 36}{12}.\)
Раскроем скобки и упростим:
\(y = \frac{36 — (1 — 4a)^2}{12} = \frac{36 — (1 — 8a + 16a^2)}{12}.\)
\(y = \frac{36 — 1 + 8a — 16a^2}{12} = \frac{35 + 8a — 16a^2}{12}.\)
Для того чтобы вершина параболы находилась в первой координатной четверти, необходимо выполнение системы неравенств:
\(\begin{cases} \frac{1 — 4a}{6} > 0 \\ \frac{35 + 8a — 16a^2}{12} > 0 \end{cases}.\)
Рассмотрим первое неравенство:
\(\frac{1 — 4a}{6} > 0.\)
Числитель должен быть положительным:
\(1 — 4a > 0 \Rightarrow 4a < 1 \Rightarrow a < 0,25.\)
Рассмотрим второе неравенство:
\(\frac{35 + 8a — 16a^2}{12} > 0.\)
Числитель должен быть положительным:
\(35 + 8a — 16a^2 > 0.\)
Решим квадратное неравенство:
\(-16a^2 + 8a + 35 = 0.\)
Дискриминант:
\(D = 8^2 — 4 \cdot (-16) \cdot 35 = 64 + 2\,240 = 2\,304.\)
Корни уравнения:
\(a_1 = \frac{-8 — \sqrt{2\,304}}{2 \cdot (-16)} = \frac{-8 — 48}{-32} = -\frac{40}{-32} = -1,25.\)
\(a_2 = \frac{-8 + \sqrt{2\,304}}{2 \cdot (-16)} = \frac{-8 + 48}{-32} = \frac{40}{-32} = 1,75.\)
Знаки квадратного трёхчлена чередуются, поэтому:
\((-1,25; 1,75).\)
Объединим результаты:
\(a \in (-1,25; 0,25).\)
Ответ: \(a \in (-1,25; 0,25).\)
