Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 60.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
При каких значениях а > 0:
а) уравнение \((\log_3 a)x^2 — (2\log_3 a — 1)x + \log_3 a — 2 = 0\) имеет единственный корень;
б) уравнение \((\log_4 a)x^2 + (2\log_4 a + 1)x + \log_4 a + 2 = 0\) не имеет корней?
Известно, что \(a > 0\).
а) \((\log_3 a)x^2 — (2\log_3 a — 1)x + \log_3 a — 2 = 0\)
Найдем дискриминант:
\(D = (2\log_3 a — 1)^2 — 4 \cdot \log_3 a \cdot (\log_3 a — 2)\);
\(D = 4\log_3^2 a — 4\log_3 a + 1 — 4\log_3^2 a + 8\log_3 a = 1 + 4\log_3 a\).
Уравнение имеет единственный корень при:
\(1 + 4\log_3 a = 0\);
\(4\log_3 a = -1\);
\(\log_3 a = -\frac{1}{4}\);
\(a = 3^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{3}}\).
Уравнение примет линейный вид при:
\(\log_3 a = 0\);
\(a = 3^0 = 1\).
Ответ: \(a = \frac{1}{\sqrt[4]{3}}; 1\).
б) \((\log_4 a)x^2 + (2\log_4 a + 1)x + \log_4 a + 2 = 0\)
Найдем дискриминант:
\(D = (2\log_4 a + 1)^2 — 4 \cdot \log_4 a \cdot (\log_4 a + 2)\);
\(D = 4\log_4^2 a + 4\log_4 a + 1 — 4\log_4^2 a — 8\log_4 a = 1 — 4\log_4 a\).
Уравнение не имеет корней при:
\(1 — 4\log_4 a < 0\);
\(4\log_4 a > 1\);
\(\log_4 a > \frac{1}{4}\);
\(a > 4^{\frac{1}{4}} = \sqrt{2}\).
Уравнение примет линейный вид при:
\(\log_4 a = 0\);
\(a = 4^0 = 1\).
Ответ: \(a > \sqrt{2}\).
а) \((\log_3 a)x^2 — (2\log_3 a — 1)x + \log_3 a — 2 = 0\)
Для решения квадратного уравнения найдем дискриминант по формуле:
\(D = b^2 — 4ac\),
где коэффициенты уравнения следующие:
\(a = \log_3 a\), \(b = -(2\log_3 a — 1)\), \(c = \log_3 a — 2\).
Подставим значения коэффициентов в формулу дискриминанта:
\(D = (- (2\log_3 a — 1))^2 — 4 \cdot \log_3 a \cdot (\log_3 a — 2)\).
Раскроем скобки в первом слагаемом:
\((- (2\log_3 a — 1))^2 = (2\log_3 a — 1)^2 = 4\log_3^2 a — 4\log_3 a + 1.\)
Подставим это выражение в формулу дискриминанта:
\(D = 4\log_3^2 a — 4\log_3 a + 1 — 4 \cdot \log_3 a \cdot (\log_3 a — 2).\)
Раскроем скобки во втором слагаемом:
\(- 4 \cdot \log_3 a \cdot (\log_3 a — 2) = — 4\log_3^2 a + 8\log_3 a.\)
Подставим это в выражение для дискриминанта:
\(D = 4\log_3^2 a — 4\log_3 a + 1 — 4\log_3^2 a + 8\log_3 a.\)
Сгруппируем подобные слагаемые:
\(D = (4\log_3^2 a — 4\log_3^2 a) + (-4\log_3 a + 8\log_3 a) + 1.\)
\(D = 0 + 4\log_3 a + 1.\)
Итак, дискриминант равен:
\(D = 1 + 4\log_3 a.\)
Уравнение имеет единственный корень, если дискриминант равен нулю:
\(1 + 4\log_3 a = 0.\)
Решим это уравнение:
\(4\log_3 a = -1.\)
\(\log_3 a = -\frac{1}{4}.\)
Вспомним определение логарифма: \(\log_3 a = -\frac{1}{4}\) означает, что:
\(a = 3^{-\frac{1}{4}}.\)
Упростим выражение:
\(a = \frac{1}{\sqrt[4]{3}}.\)
Уравнение примет линейный вид, если старший коэффициент равен нулю, то есть:
\(\log_3 a = 0.\)
Решим это уравнение:
\(a = 3^0 = 1.\)
Ответ: \(a = \frac{1}{\sqrt[4]{3}}, 1.\)
б) \((\log_4 a)x^2 + (2\log_4 a + 1)x + \log_4 a + 2 = 0\)
Для решения квадратного уравнения найдем дискриминант по формуле:
\(D = b^2 — 4ac\),
где коэффициенты уравнения следующие:
\(a = \log_4 a\), \(b = 2\log_4 a + 1\), \(c = \log_4 a + 2\).
Подставим значения коэффициентов в формулу дискриминанта:
\(D = (2\log_4 a + 1)^2 — 4 \cdot \log_4 a \cdot (\log_4 a + 2).\)
Раскроем скобки в первом слагаемом:
\((2\log_4 a + 1)^2 = 4\log_4^2 a + 4\log_4 a + 1.\)
Подставим это выражение в формулу дискриминанта:
\(D = 4\log_4^2 a + 4\log_4 a + 1 — 4 \cdot \log_4 a \cdot (\log_4 a + 2).\)
Раскроем скобки во втором слагаемом:
\(- 4 \cdot \log_4 a \cdot (\log_4 a + 2) = — 4\log_4^2 a — 8\log_4 a.\)
Подставим это в выражение для дискриминанта:
\(D = 4\log_4^2 a + 4\log_4 a + 1 — 4\log_4^2 a — 8\log_4 a.\)
Сгруппируем подобные слагаемые:
\(D = (4\log_4^2 a — 4\log_4^2 a) + (4\log_4 a — 8\log_4 a) + 1.\)
\(D = 0 — 4\log_4 a + 1.\)
Итак, дискриминант равен:
\(D = 1 — 4\log_4 a.\)
Уравнение не имеет корней, если дискриминант меньше нуля:
\(1 — 4\log_4 a < 0.\)
Решим это неравенство:
\(-4\log_4 a < -1.\)
\(\log_4 a > \frac{1}{4}.\)
Вспомним определение логарифма: \(\log_4 a > \frac{1}{4}\) означает, что:
\(a > 4^{\frac{1}{4}}.\)
\(a > \sqrt{2}.\)
Уравнение примет линейный вид, если старший коэффициент равен нулю, то есть:
\(\log_4 a = 0.\)
Решим это уравнение:
\(a = 4^0 = 1.\)
Ответ: \(a > \sqrt{2}.\)
