Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 60.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
При каких значениях параметра а не имеет корней уравнение:
а) \(48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^{x+2}\)
б) \(9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0\)
При каких значениях параметра \(a\) не имеет корней уравнение:
а) \(48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^{x+2}\)
\(48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^2 \cdot 4^x\);
\(48 \cdot 4^x — 16a \cdot 4^x = a — 27\);
\(16 \cdot 4^x \cdot (3 — a) = a — 27\);
\(16 \cdot 4^x = \frac{a — 27}{3 — a}\);
Уравнение не имеет корней при:
\(\frac{a — 27}{3 — a} \leq 0\);
\(\frac{a — 27}{a — 3} \geq 0\);
\(a < 3\) или \(a \geq 27\);
Если число \(a = 3\), тогда:
\(0 \cdot 4^x = -24\);
\(x \in \) ø;
Ответ: \(a \in (-\infty; 3] \cup [27; +\infty)\).
б) \(9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0\)
\(3^{2x} + 2a \cdot 3 \cdot 3^x + 9 = 0\);
\(3^{2x} + 6a \cdot 3^x + 9 = 0\);
\(D = (6a)^2 — 4 \cdot 9 = 36a^2 — 36 = 36(a^2 — 1)\);
Уравнение не имеет корней при:
\(a^2 — 1 < 0\);
\((a + 1)(a — 1) < 0\);
\(-1 < a < 1\);
Если число \(a \leq -1\), тогда:
\(3^x = \frac{-6a + 6\sqrt{a^2 — 1}}{2} = 3( \sqrt{a^2 — 1} — a ) > 0\);
\(x\) — существует;
Если число \(a \geq 1\), тогда:
\(9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 > 0\);
\(x \in \) ø;
Ответ: \(a \in (-1; +\infty)\).
При каких значениях параметра \(a\) не имеет корней уравнение:
а) \(48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^{x+2}\)
1. Преобразуем правую часть уравнения:
\(4^{x+2} = 4^2 \cdot 4^x = 16 \cdot 4^x\).
Подставим это в уравнение:
\(48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 16 \cdot 4^x.\)
2. Перенесем все слагаемые, содержащие \(4^x\), в левую часть:
\(48 \cdot 4^x — 16a \cdot 4^x = a — 27.\)
3. Вынесем \(4^x\) за скобки в левой части:
\(4^x \cdot (48 — 16a) = a — 27.\)
4. Разделим обе части уравнения на \((48 — 16a)\), предполагая, что \(48 — 16a \neq 0\):
\(4^x = \frac{a — 27}{48 — 16a}.\)
5. Упростим знаменатель в правой части:
\(48 — 16a = 16 \cdot (3 — a).\)
Подставим это в уравнение:
\(4^x = \frac{a — 27}{16 \cdot (3 — a)}.\)
6. Умножим обе части уравнения на 16:
\(16 \cdot 4^x = \frac{a — 27}{3 — a}.\)
7. Уравнение не имеет корней, если правая часть уравнения \(\frac{a — 27}{3 — a}\) не положительна:
\(\frac{a — 27}{3 — a} \leq 0.\)
8. Решим неравенство \(\frac{a — 27}{3 — a} \leq 0\):
Знаменатель \((3 — a)\) меняет знак при \(a = 3\), а числитель \((a — 27)\) меняет знак при \(a = 27\).
Найдём интервалы знакопостоянства дроби:
- При \(a < 3\): числитель \((a — 27) < 0\), знаменатель \((3 — a) > 0\), дробь отрицательна.
- При \(3 < a < 27\): числитель \((a — 27) < 0\), знаменатель \((3 — a) < 0\), дробь положительна.
- При \(a > 27\): числитель \((a — 27) > 0\), знаменатель \((3 — a) < 0\), дробь отрицательна.
Условие \(\frac{a — 27}{3 — a} \leq 0\) выполняется на интервалах \(a < 3\) или \(a \geq 27\).
9. Рассмотрим случай \(a = 3\):
При \(a = 3\) уравнение принимает вид:
\(0 \cdot 4^x = -24.\)
Так как левая часть равна нулю, а правая часть — отрицательное число, уравнение не имеет решений.
Ответ: \(a \in (-\infty; 3] \cup [27; +\infty)\).
б) \(9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0\)
1. Заменим \(9^x\) на \(3^{2x}\):
\(3^{2x} + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0.\)
2. Преобразуем \(3^{x+1}\):
\(3^{x+1} = 3 \cdot 3^x.\)
Подставим это в уравнение:
\(3^{2x} + 2a \cdot 3 \cdot 3^x + 9 = 0.\)
3. Перепишем уравнение в стандартной форме:
\(3^{2x} + 6a \cdot 3^x + 9 = 0.\)
4. Сделаем замену \(y = 3^x\), тогда \(y > 0\). Уравнение примет вид:
\(y^2 + 6a \cdot y + 9 = 0.\)
5. Найдём дискриминант квадратного уравнения:
\(D = (6a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36a^2 — 36.\)
\(D = 36(a^2 — 1).\)
6. Уравнение не имеет корней, если дискриминант меньше нуля:
\(36(a^2 — 1) < 0.\)
\(a^2 — 1 < 0.\)
\((a + 1)(a — 1) < 0.\)
7. Решим неравенство \((a + 1)(a — 1) < 0\):
Произведение двух множителей отрицательно, если они имеют разные знаки. Это выполняется на интервале:
\(-1 < a < 1.\)
8. Рассмотрим случай, когда \(a \leq -1\):
При \(a \leq -1\) дискриминант \(D = 36(a^2 — 1) \geq 0\), тогда корни существуют. Рассчитаем корни:
\(y = \frac{-6a \pm 6\sqrt{a^2 — 1}}{2} = -3a \pm 3\sqrt{a^2 — 1}.\)
Так как \(y > 0\), то:
\(-3a + 3\sqrt{a^2 — 1} > 0.\)
Разделим на 3:
\(-a + \sqrt{a^2 — 1} > 0.\)
\(\sqrt{a^2 — 1} > a.\)
Это всегда выполняется при \(a \leq -1\).
Следовательно, при \(a \leq -1\) уравнение имеет корни.
9. Рассмотрим случай \(a \geq 1\):
При \(a \geq 1\) дискриминант \(D = 36(a^2 — 1) \geq 0\), но:
\(y = \frac{-6a \pm 6\sqrt{a^2 — 1}}{2}.\)
Для корня \(y > 0\) необходимо, чтобы \(-3a + 3\sqrt{a^2 — 1} > 0\), но это невозможно, так как \(-3a\) отрицательно, а \(3\sqrt{a^2 — 1} \geq 0\).
Следовательно, при \(a \geq 1\) уравнение не имеет корней.
Ответ: \(a \in (-1; +\infty).\)
