Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 60.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
При каких значениях а:
а) уравнение \(5^{2x} — 3 \cdot 5^x + a — 1 = 0\) имеет единственный корень;
б) уравнение \(0,01^x — 2(a + 1) \cdot 0,1^x + 4 = 0\) не имеет действительных корней?
Найти значения \(a\), удовлетворяющие условию;
а) \(5^{2x} — 3 \cdot 5^x + a — 1 = 0\);
\(D = 3^2 — 4 \cdot (a — 1) = 9 — 4a + 4 = 13 — 4a\);
Уравнение имеет единственный корень при:
\(13 — 4a = 0\);
\(4a = 13\);
\(a = \frac{13}{4} = 3,25\);
Корни уравнения имеют разные знаки при:
\(5^x_1 \cdot 5^x_2 \le 0\);
\(\frac{3 — \sqrt{13 — 4a}}{2} \cdot \frac{3 + \sqrt{13 — 4a}}{2} \le 0\);
\(\frac{9 — (13 — 4a)}{2} \le 0\);
\(\frac{4a — 4}{2} \le 0\);
\(2a — 2 \le 0\);
\(a — 1 \le 0\);
\(a \le 1\);
Ответ: \(a \in (-\infty; 1] \cup \{3,25\}\).
б) \(0,01^x — 2(a + 1) \cdot 0,1^x + 4 = 0\);
\(0,1^{2x} — 2(a + 1) \cdot 0,1^x + 4 = 0\);
\(D = 4(a + 1)^2 — 4 \cdot 4 = 4(a^2 + 2a + 1) — 4 \cdot 4 = 4(a^2 + 2a — 3)\);
Уравнение не имеет корней при:
\(a^2 + 2a — 3 < 0\);
\(D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16\), тогда:
\(a_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3\) и \(a_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1\);
\((a + 3)(a — 1) < 0\);
\(-3 < a < 1\);
Если число \(a \ge 1\), тогда:
\(0,1^x = \frac{2(a + 1) + 2\sqrt{a^2 + 2a — 3}}{2} = \left(\sqrt{a^2 + 2a — 3} + a + 1\right) > 0\);
\(x\) — существует;
Если число \(a \le -3\), тогда:
\(0,01^x — 2(a + 1) \cdot 0,1^x + 4 > 0\);
\(x \in ø\);
Ответ: \(a \in (-\infty; 1)\).
Найти значения \(a\), удовлетворяющие условию:
а) Рассмотрим уравнение:
\(5^{2x} — 3 \cdot 5^x + a — 1 = 0\).
Введем замену: \(t = 5^x\), где \(t > 0\). Тогда уравнение принимает вид:
\(t^2 — 3t + a — 1 = 0\).
Это квадратное уравнение относительно \(t\). Найдем его дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = a — 1\).
Подставляем значения:
\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (a — 1)\).
Упростим выражение:
\(D = 9 — 4(a — 1)\).
Раскроем скобки:
\(D = 9 — 4a + 4 = 13 — 4a\).
Уравнение имеет единственный корень, если дискриминант равен нулю:
\(13 — 4a = 0.\)
Решим это уравнение:
\(4a = 13.\)
\(a = \frac{13}{4} = 3,25.\)
Теперь рассмотрим случай, когда корни уравнения имеют разные знаки. Пусть \(t_1\) и \(t_2\) — корни уравнения. Тогда:
\(t_1 \cdot t_2 \le 0.\)
По теореме Виета произведение корней квадратного уравнения равно:
\(t_1 \cdot t_2 = \frac{c}{a} = \frac{a — 1}{1} = a — 1.\)
Следовательно, условие принимает вид:
\(a — 1 \le 0.\)
Решим неравенство:
\(a \le 1.\)
Таким образом, \(a \le 1\), чтобы корни уравнения имели разные знаки.
Ответ для пункта а: \(a \in (-\infty; 1] \cup \{3,25\}\).
б) Рассмотрим уравнение:
\(0,01^x — 2(a + 1) \cdot 0,1^x + 4 = 0.\)
Преобразуем уравнение. Заметим, что \(0,01^x = (0,1^x)^2\). Обозначим \(t = 0,1^x\), где \(t > 0\). Тогда уравнение принимает вид:
\(t^2 — 2(a + 1)t + 4 = 0.\)
Это квадратное уравнение относительно \(t\). Найдем дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -2(a + 1)\), \(c = 4\).
Подставляем значения:
\(D = [-2(a + 1)]^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4.\)
Упростим выражение:
\(D = 4(a + 1)^2 — 16.\)
Раскроем скобки в \((a + 1)^2\):
\(D = 4(a^2 + 2a + 1) — 16.\)
Упростим выражение:
\(D = 4a^2 + 8a + 4 — 16 = 4a^2 + 8a — 12.\)
Уравнение не имеет корней, если дискриминант меньше нуля:
\(4a^2 + 8a — 12 < 0.\)
Разделим обе части неравенства на 4:
\(a^2 + 2a — 3 < 0.\)
Решим квадратное неравенство. Найдем корни квадратного уравнения:
\(D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.\)
Корни уравнения:
\(a_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 — 4}{2} = -3,\)
\(a_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1.\)
Знаки квадратного трехчлена чередуются, поэтому:
\(a^2 + 2a — 3 < 0\) при \(-3 < a < 1.\)
Теперь рассмотрим граничные случаи. Если \(a \ge 1\), то:
\(t = \frac{2(a + 1) \pm 2\sqrt{a^2 + 2a — 3}}{2}.\)
Так как \(t > 0\), то выражение:
\(\sqrt{a^2 + 2a — 3} + a + 1 > 0.\)
Это всегда выполняется при \(a \ge 1\), следовательно, \(x\) существует.
Если \(a \le -3\), то:
\(0,01^x — 2(a + 1) \cdot 0,1^x + 4 > 0.\)
При таких \(a\) уравнение не имеет решений, так как дискриминант становится отрицательным.
Ответ для пункта б: \(a \in (-\infty; 1).\)
