Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 60.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
При каких значениях а имеет ровно три корня уравнение:
а) х (х + З)² + а = 0;
б) х³ — 12х + 1 = а?
При каких значениях \(a\) имеет ровно три корня уравнение:
а) \(x(x+3)^2 + a = 0\);
\(x(x^2 + 6x + 9) = -a\);
\(x^3 + 6x^2 + 9x = -a\);
Пусть \(y(x) = x^3 + 6x^2 + 9x\), тогда:
\(y'(x) = (x^3)’ + 6(x^2)’ + (9x)’ = 3x^2 + 6 \cdot 2x + 9\);
\(y'(x) = 3x^2 + 12x + 9 = 3(x^2 + 4x + 3)\);
Промежуток возрастания:
\(x^2 + 4x + 3 \geq 0\);
\(D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4\), тогда:
\(x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3\) и \(x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1\);
\((x + 3)(x + 1) \geq 0\);
\(x \leq -3\) или \(x \geq -1\);
Значения функции:
\(y_{min} = y(-1) = -1 + 6 \cdot 1 + 9 \cdot (-1) = -4\);
\(y_{max} = y(-3) = -27 + 6 \cdot 9 + 9 \cdot (-3) = 0\);
Уравнение имеет три решения при:
\(-4 < -a < 0\);
\(0 < a < 4\);
Ответ: \(a \in (0; 4)\).
б) \(x^3 — 12x + 1 = a\);
Пусть \(y(x) = x^3 — 12x + 1\), тогда:
\(y'(x) = (x^3)’ — (12x)’ + (1)’\);
\(y'(x) = 3x^2 — 12 + 0 = 3(x^2 — 4)\);
Промежуток возрастания:
\(x^2 — 4 \geq 0\);
\((x + 2)(x — 2) \geq 0\);
\(x \leq -2\) или \(x \geq 2\);
Значения функции:
\(y_{min} = y(2) = 8 — 12 \cdot 2 + 1 = -15\);
\(y_{max} = y(-2) = -8 — 12 \cdot (-2) + 1 = 17\);
Уравнение имеет три решения при:
\(-15 < a < 17\);
Ответ: \(a \in (-15; 17)\).
Найти, при каких значениях \(a\) уравнение имеет ровно три корня:
а) Уравнение \(x(x+3)^2 + a = 0\)
Раскроем скобки и преобразуем уравнение:
\(x(x+3)^2 + a = 0 \Rightarrow x(x^2 + 6x + 9) = -a\).
Получаем кубическое уравнение:
\(x^3 + 6x^2 + 9x = -a\).
Обозначим \(y(x) = x^3 + 6x^2 + 9x\). Тогда уравнение примет вид:
\(y(x) = -a\).
Найдем производную функции \(y(x)\):
\(y'(x) = (x^3)’ + 6(x^2)’ + (9x)’\).
Вычислим производные каждого слагаемого:
\((x^3)’ = 3x^2\), \(6(x^2)’ = 6 \cdot 2x = 12x\), \((9x)’ = 9\).
Сложим все производные:
\(y'(x) = 3x^2 + 12x + 9\).
Вынесем общий множитель \(3\):
\(y'(x) = 3(x^2 + 4x + 3)\).
Найдем промежутки возрастания и убывания функции \(y(x)\):
Для этого решим неравенство \(y'(x) \geq 0\):
\(3(x^2 + 4x + 3) \geq 0 \Rightarrow x^2 + 4x + 3 \geq 0\).
Решим квадратное уравнение \(x^2 + 4x + 3 = 0\):
Дискриминант \(D\) равен:
\(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4\).
Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{-4 — 2}{2 \cdot 1} = -3\), \(x_2 = \frac{-4 + 2}{2 \cdot 1} = -1\).
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
\(x^2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1)\).
Решим неравенство \((x + 3)(x + 1) \geq 0\):
Произведение двух множителей неотрицательно, если оба множителя одного знака:
\(x \leq -3\) или \(x \geq -1\).
Найдём значения функции в критических точках:
Функция \(y(x)\) достигает экстремумов в точках \(x = -3\) и \(x = -1\).
Вычислим значения функции в этих точках:
\(y(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) = -1 + 6 \cdot 1 — 9 = -4\).
\(y(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) = -27 + 6 \cdot 9 — 27 = 0\).
Исследуем количество корней уравнения:
Уравнение \(y(x) = -a\) имеет три корня, если график \(y(x)\) пересекает прямую \(y = -a\) ровно в трёх точках.
Это возможно, если:
\(-4 < -a < 0 \Rightarrow 0 < a < 4\).
Ответ:
\(a \in (0; 4)\).
б) Уравнение \(x^3 — 12x + 1 = a\)
Обозначим \(y(x) = x^3 — 12x + 1\). Тогда уравнение примет вид:
\(y(x) = a\).
Найдем производную функции \(y(x)\):
\(y'(x) = (x^3)’ — (12x)’ + (1)’\).
Вычислим производные каждого слагаемого:
\((x^3)’ = 3x^2\), \(-(12x)’ = -12\), \((1)’ = 0\).
Сложим все производные:
\(y'(x) = 3x^2 — 12\).
Вынесем общий множитель \(3\):
\(y'(x) = 3(x^2 — 4)\).
Найдем промежутки возрастания и убывания функции \(y(x)\):
Для этого решим неравенство \(y'(x) \geq 0\):
\(3(x^2 — 4) \geq 0 \Rightarrow x^2 — 4 \geq 0\).
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
\(x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2)\).
Решим неравенство \((x — 2)(x + 2) \geq 0\):
\(x \leq -2\) или \(x \geq 2\).
Найдём значения функции в критических точках:
Функция \(y(x)\) достигает экстремумов в точках \(x = -2\) и \(x = 2\).
Вычислим значения функции в этих точках:
\(y(2) = (2)^3 — 12(2) + 1 = 8 — 24 + 1 = -15\).
\(y(-2) = (-2)^3 — 12(-2) + 1 = -8 + 24 + 1 = 17\).
Исследуем количество корней уравнения:
Уравнение \(y(x) = a\) имеет три корня, если график \(y(x)\) пересекает прямую \(y = a\) ровно в трёх точках.
Это возможно, если:
\(-15 < a < 17\).
Ответ:
\(a \in (-15; 17)\).
