Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 60.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
При каких значениях а:
а) уравнение \(x^{4}-8x^{2}+4=a\) не имеет корней;
б) уравнение \(3x^{4}+4x^{3}-12x^{2}=a\) имеет не менее трёх корней?
Найти значения \(a\), удовлетворяющие условию
а) \(x^{4}-8x^{2}+4=a\)
Пусть \(y(x)=x^{4}-8x^{2}+4\), тогда:
\(y'(x)=(x^{4})’-8(x^{2})’+(4)’\);
\(y'(x)=4x^{3}-8\cdot2x+0=4(x^{3}-4x)\);
Промежуток возрастания:
\(x^{3}-4x\geq0\);
\(x(x^{2}-4)\geq0\);
\((x+2)x(x-2)\geq0\);
\(-2\leq x\leq0\) или \(x\geq2\);
Значения функции:
\(y_{min}=y(-2)=16-8\cdot4+4=-12\);
\(y_{max}=y(0)=0-8\cdot0+4=4\);
\(y_{min}=y(2)=-12\);
Уравнение не имеет решений при:
\(a<-12\);
Ответ: \(a\in(-\infty;-12)\).
б) \(3x^{4}+4x^{3}-12x^{2}=a\)
Пусть \(y(x)=3x^{4}+4x^{3}-12x^{2}\), тогда:
\(y'(x)=3(x^{4})’+4(x^{3})’-12(x^{2})’\);
\(y'(x)=3\cdot4x^{3}+4\cdot3x^{2}-12\cdot2x=12(x^{3}+x^{2}-2x)\);
Промежуток возрастания:
\(x^{3}+x^{2}-2x\geq0\);
\(x(x^{2}+x-2)\geq0\);
Найдем корни квадратного уравнения \(x^{2}+x-2=0\):
\(D=1^{2}+4\cdot2=1+8=9\), тогда:
\(x_{1}=\frac{-1-3}{2}=-2\) и \(x_{2}=\frac{-1+3}{2}=1\);
Разложим на множители:
\((x+2)x(x-1)\geq0\);
\(-2\leq x\leq0\) или \(x\geq1\);
Значения функции:
\(y_{min}=y(-2)=3\cdot16+4\cdot(-8)-12\cdot4=-32\);
\(y_{max}=y(0)=3\cdot0+4\cdot0-12\cdot0=0\);
\(y_{min}=y(1)=3\cdot1+4\cdot1-12\cdot1=-5\);
Уравнение имеет не менее трех корней при:
\(-5\leq a\leq0\);
Ответ: \(a\in[-5;0]\).
Найти значения \(a\), удовлетворяющие условию
а) \(x^{4}-8x^{2}+4=a\)
Пусть \(y(x)=x^{4}-8x^{2}+4\). Найдем производную функции:
\(y'(x)=(x^{4})’-8(x^{2})’+(4)’\).
Производная \(x^{4}\) равна \(4x^{3}\), производная \(8x^{2}\) равна \(8\cdot2x=16x\), а производная константы \(4\) равна \(0\).
Таким образом:
\(y'(x)=4x^{3}-16x\).
Вынесем общий множитель \(4x\):
\(y'(x)=4x(x^{2}-4)\).
Найдем промежутки возрастания функции:
Для этого решим неравенство \(y'(x)\geq0\):
\(4x(x^{2}-4)\geq0\).
Так как \(4>0\), то достаточно решить неравенство:
\(x(x^{2}-4)\geq0\).
Разложим \(x^{2}-4\) на множители:
\(x^{2}-4=(x-2)(x+2)\).
Тогда неравенство примет вид:
\(x(x+2)(x-2)\geq0\).
Рассмотрим знаки каждого множителя на числовой прямой:
- \(x+2=0 \Rightarrow x=-2\),
- \(x=0\),
- \(x-2=0 \Rightarrow x=2\).
Разбиваем числовую прямую на интервалы: \((-\infty;-2)\), \((-2;0)\), \((0;2)\), \((2;+\infty)\).
Определяем знаки произведения на каждом из интервалов:
- На \((-∞;-2)\): все множители отрицательны, произведение отрицательно.
- На \((-2;0)\): \(x+2>0\), \(x<0\), \(x-2<0\), произведение положительно.
- На \((0;2)\): \(x+2>0\), \(x>0\), \(x-2<0\), произведение отрицательно.
- На \((2;+∞)\): все множители положительны, произведение положительно.
Таким образом, \(x(x+2)(x-2)\geq0\) на интервалах \([-2;0]\) и \([2;+\infty)\).
Значения функции в критических точках:
Теперь найдем значения функции \(y(x)\) в точках экстремумов и на границах интервалов:
\(y(-2)=(-2)^{4}-8(-2)^{2}+4=16-8\cdot4+4=-12\).
\(y(0)=(0)^{4}-8(0)^{2}+4=0-0+4=4\).
\(y(2)=(2)^{4}-8(2)^{2}+4=16-8\cdot4+4=-12\).
Исследуем уравнение:
Уравнение \(x^{4}-8x^{2}+4=a\) не имеет решений, если \(a<-12\), так как график функции \(y(x)\) не пересекает прямую \(y=a\) при \(a<-12\).
Ответ:
\(a\in(-\infty;-12)\).
б) \(3x^{4}+4x^{3}-12x^{2}=a\)
Пусть \(y(x)=3x^{4}+4x^{3}-12x^{2}\). Найдем производную функции:
\(y'(x)=3(x^{4})’+4(x^{3})’-12(x^{2})’\).
Производная \(3x^{4}\) равна \(3\cdot4x^{3}=12x^{3}\), производная \(4x^{3}\) равна \(4\cdot3x^{2}=12x^{2}\), производная \(12x^{2}\) равна \(12\cdot2x=24x\).
Таким образом:
\(y'(x)=12x^{3}+12x^{2}-24x\).
Вынесем общий множитель \(12x\):
\(y'(x)=12x(x^{2}+x-2)\).
Промежуток возрастания:
Для этого решим неравенство \(y'(x)\geq0\):
\(12x(x^{2}+x-2)\geq0\).
Так как \(12>0\), то достаточно решить неравенство:
\(x(x^{2}+x-2)\geq0\).
Найдем корни квадратного уравнения \(x^{2}+x-2=0\):
Дискриминант \(D=1^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=1+8=9\).
Корни уравнения:
\(x_{1}=\frac{-1-3}{2}=-2\), \(x_{2}=\frac{-1+3}{2}=1\).
Тогда неравенство примет вид:
\(x(x+2)(x-1)\geq0\).
Рассмотрим знаки каждого множителя на числовой прямой:
- \(x+2=0 \Rightarrow x=-2\),
- \(x=0\),
- \(x-1=0 \Rightarrow x=1\).
Разбиваем числовую прямую на интервалы: \((-∞;-2)\), \((-2;0)\), \((0;1)\), \((1;+∞)\).
Определяем знаки произведения на каждом из интервалов:
- На \((-∞;-2)\): все множители отрицательны, произведение отрицательно.
- На \((-2;0)\): \(x+2>0\), \(x<0\), \(x-1<0\), произведение положительно.
- На \((0;1)\): \(x+2>0\), \(x>0\), \(x-1<0\), произведение отрицательно.
- На \((1;+∞)\): все множители положительны, произведение положительно.
Таким образом, \(x(x+2)(x-1)\geq0\) на интервалах \([-2;0]\) и \([1;+\infty)\).
Значения функции в критических точках:
Теперь найдем значения функции \(y(x)\) в точках экстремумов и на границах интервалов:
\(y(-2)=3\cdot(-2)^{4}+4\cdot(-2)^{3}-12\cdot(-2)^{2}=\)
\(=3\cdot16+4\cdot(-8)-12\cdot4=-32\).
\(y(0)=3\cdot(0)^{4}+4\cdot(0)^{3}-12\cdot(0)^{2}=0\).
\(y(1)=3\cdot1^{4}+4\cdot1^{3}-12\cdot1^{2}=3+4-12=-5\).
Исследуем уравнение:
Уравнение \(3x^{4}+4x^{3}-12x^{2}=a\) имеет не менее трех корней, если график функции \(y(x)\) пересекает прямую \(y=a\) ровно в трех точках.
Это возможно, если \(-5\leq a\leq0\).
Ответ:
\(a\in[-5;0]\).
