ГДЗ 10-11 Класс Номер 60.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра b уравнение b² · х — х + 2 = b² + b:

а) имеет ровно один корень;

б) не имеет корней;

в) имеет более одного корня?

Дано уравнение с параметром \( b \):

\( b^2 \cdot x — x + 2 = b^2 + b; \)
\( b^2 \cdot x — x = b^2 — 1 + b — 1; \)
\( x(b^2 — 1) = (b^2 — 1) + (b — 1); \)
\( x(b — 1)(b + 1) = (b — 1)(b + 1) + (b — 1); \)
\( x(b — 1)(b + 1) = (b — 1)(b + 2); \)

а) Уравнение имеет ровно один корень, если:
\( (b — 1)(b + 1) \ne 0; \)
\( b^2 — 1 \ne 0; \)
\( b^2 \ne 1; \)
\( b \ne \pm 1; \)
Ответ: \( b \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty) \).

б) Уравнение не имеет корней, если:
\( b + 1 = 0; \)
\( b = -1; \)
Ответ: \( b \in \{-1\} \).

в) Уравнение имеет более одного корня, если:
\( b — 1 = 0; \)
\( b = 1; \)
Ответ: \( b \in \{1\} \).

Дано уравнение:

\(
b^2 \cdot x — x + 2 = b^2 + b
\)

Шаг 1: Переносим все члены, содержащие \( x \), в левую часть, а остальные — в правую

Перепишем уравнение:
\(
b^2 \cdot x — x = b^2 + b — 2
\)

Шаг 2: Выносим \( x \) за скобки в левой части

Вынесем \( x \) как общий множитель:
\(
x(b^2 — 1) = b^2 + b — 2
\)

Шаг 3: Разложим выражение \( b^2 — 1 \) на множители

Используем формулу разности квадратов:
\(
b^2 — 1 = (b — 1)(b + 1)
\)
Таким образом, уравнение принимает вид:
\(
x(b — 1)(b + 1) = b^2 + b — 2
\)

Шаг 4: Разложим правую часть на множители

Рассмотрим выражение \( b^2 + b — 2 \). Найдем его корни через дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
\)
Корни:
\(
b = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}
\)
\(
b_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1, \quad b_2 = \frac{-1 — 3}{2} = -2
\)
Следовательно, \( b^2 + b — 2 \) можно разложить на множители:
\(
b^2 + b — 2 = (b — 1)(b + 2)
\)

Подставляем это в уравнение:
\(
x(b — 1)(b + 1) = (b — 1)(b + 2)
\)

Шаг 5: Анализируем случаи для \( b — 1 \) и \( b + 1 \)

Случай 1: \( b — 1 = 0 \)

Если \( b — 1 = 0 \), то \( b = 1 \). Подставим \( b = 1 \) в исходное уравнение:
\(
1^2 \cdot x — x + 2 = 1^2 + 1
\)
\(
0 \cdot x + 2 = 2
\)
\(
2 = 2
\)
Получаем тождество, которое выполняется при любом значении \( x \). Следовательно, при \( b = 1 \) уравнение имеет бесконечно много решений.

Случай 2: \( b + 1 = 0 \)

Если \( b + 1 = 0 \), то \( b = -1 \). Подставим \( b = -1 \) в исходное уравнение:
\(
(-1)^2 \cdot x — x + 2 = (-1)^2 + (-1)
\)
\(
x — x + 2 = 1 — 1
\)
\(
2 = 0
\)
Получаем противоречие. Следовательно, при \( b = -1 \) уравнение не имеет решений.

Случай 3: \( b — 1 \neq 0 \) и \( b + 1 \neq 0 \)

Если \( b — 1 \neq 0 \) и \( b + 1 \neq 0 \), то \( (b — 1)(b + 1) \neq 0 \). В этом случае можно разделить обе части уравнения на \( (b — 1)(b + 1) \):
\(
x = \frac{(b — 1)(b + 2)}{(b — 1)(b + 1)}
\)
Сокращаем \( b — 1 \) (при условии \( b — 1 \neq 0 \)):
\(
x = \frac{b + 2}{b + 1}
\)
Таким образом, уравнение имеет ровно один корень:
\(
x = \frac{b + 2}{b + 1}, \quad b \neq \pm 1
\)

Ответы

а) Уравнение имеет ровно один корень:

Условие: \( b \neq \pm 1 \).
Ответ:
\(
b \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)
\)

б) Уравнение не имеет корней:

Условие: \( b = -1 \).
Ответ:
\(
b \in \{-1\}
\)

в) Уравнение имеет более одного корня:

Условие: \( b = 1 \).
Ответ:
\(
b \in \{1\}
\)