ГДЗ 10-11 Класс Номер 60.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение (относительно х):

а) \(a^{2} \cdot x — 4x + 2 = a;\)

б) \(\frac{x}{a} + x — 1 = a\)

Решить уравнение относительно \(x\):

а) \(a^{2} \cdot x — 4x + 2 = a;\)
\(a^{2} \cdot x — 4x = a — 2;\)
\(x(a^{2} — 4) = a — 2;\)
\(x(a + 2)(a — 2) = (a — 2);\)
\(x = \frac{a — 2}{(a + 2)(a — 2)} = \frac{1}{a + 2};\)

Ответ:
\(x = \frac{1}{a + 2},\) если \(a \ne \pm 2;\)
\(x \in \mathbb{R},\) если \(a = 2;\)
\(x \in \emptyset,\) если \(a = -2.\)

б) \(\frac{x}{a} + x — 1 = a;\)
\(\frac{x}{a} + x = a + 1;\)
\(x\left(\frac{1}{a} + 1\right) = a + 1;\)
\(x \cdot \frac{a + 1}{a} = a + 1;\)
\(x = a \cdot \frac{a + 1}{a + 1} = a;\)

Ответ:
\(x = a,\) если \(a \ne -1\) и \(a \ne 0;\)
\(x \in \mathbb{R},\) если \(a = -1;\)
\(x \in \emptyset,\) если \(a = 0.\)

Решим уравнение относительно \(x\):

а) Начальное уравнение:
\(a^{2} \cdot x — 4x + 2 = a\)

1. Переносим все члены, содержащие \(x\), в левую часть, а остальные в правую часть:
\(a^{2} \cdot x — 4x = a — 2\)

2. Вынесем \(x\) за скобки в левой части:
\(x(a^{2} — 4) = a — 2\)

3. Заметим, что \(a^{2} — 4\) можно разложить на множители по формуле разности квадратов:
\(a^{2} — 4 = (a + 2)(a — 2)\)

Подставляем разложение в уравнение:
\(x(a + 2)(a — 2) = a — 2\)

4. Если \(a — 2 \ne 0\), то можно сократить на \(a — 2\):
\(x(a + 2) = 1\)

5. Выразим \(x\) из уравнения:
\(x = \frac{1}{a + 2}\)

Теперь рассмотрим возможные случаи:

— Если \(a = 2\), то \(a — 2 = 0\), а исходное уравнение принимает вид:
\(4x — 4x + 2 = 2\), что верно для любого \(x \in \mathbb{R}\).

— Если \(a = -2\), то \(a + 2 = 0\), а исходное уравнение становится неопределенным, поскольку деление на ноль невозможно. В этом случае решений нет: \(x \in \emptyset\).

— Если \(a \ne \pm 2\), то решение найдено выше:
\(x = \frac{1}{a + 2}\).

Ответ:
\(x = \frac{1}{a + 2},\) если \(a \ne \pm 2;\)
\(x \in \mathbb{R},\) если \(a = 2;\)
\(x \in \emptyset,\) если \(a = -2.\)

б) Начальное уравнение:
\(\frac{x}{a} + x — 1 = a\)

1. Переносим свободный член \(-1\) в правую часть:
\(\frac{x}{a} + x = a + 1\)

2. Вынесем \(x\) за скобки в левой части. Для этого представим \(x\) в виде суммы двух слагаемых:
\(x \cdot \frac{1}{a} + x = x\left(\frac{1}{a} + 1\right)\)

Тогда уравнение принимает вид:
\(x\left(\frac{1}{a} + 1\right) = a + 1\)

3. Выразим \(x\) из уравнения. Для этого разделим обе части на \(\frac{1}{a} + 1\):
\(x = \frac{a + 1}{\frac{1}{a} + 1}\)

4. Преобразуем знаменатель \(\frac{1}{a} + 1\):
\(\frac{1}{a} + 1 = \frac{1 + a}{a}\)

Подставим это выражение в уравнение:
\(x = \frac{a + 1}{\frac{1 + a}{a}} = (a + 1) \cdot \frac{a}{1 + a}\)

Сократим \(a + 1\) в числителе и знаменателе (при условии \(a + 1 \ne 0\)):
\(x = a\)

Теперь рассмотрим возможные случаи:

— Если \(a = -1\), то \(a + 1 = 0\), и уравнение принимает вид:
\(-\frac{x}{1} + x — 1 = -1\), что верно для любого \(x \in \mathbb{R}\).

— Если \(a = 0\), то \(\frac{1}{a}\) становится неопределенным, а уравнение не имеет смысла. В этом случае решений нет: \(x \in \emptyset\).

— Если \(a \ne -1\) и \(a \ne 0\), то решение найдено выше:
\(x = a\).

Ответ:
\(x = a,\) если \(a \ne -1\) и \(a \ne 0;\)
\(x \in \mathbb{R},\) если \(a = -1;\)
\(x \in \emptyset,\) если \(a = 0.\)