ГДЗ 10-11 Класс Номер 60.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство (относительно х):

а) \(
mx — x + 1 \ge m^2;
\)

б) \(
b^2 \cdot x — x + 1 > b;
\)

Решить неравенство относительно \(x\):

а) \(
mx — x + 1 \ge m^2;
\)
\(
mx — x \ge m^2 — 1;
\)
\(
x(m — 1) \ge (m + 1)(m — 1);
\)

Если \(m = 1\), тогда:
\(
0x \ge 0;
\)
\(
x \in \mathbb{R};
\)

Если \(m > 1\), тогда:
\(
x \ge m + 1;
\)

Если \(m < 1\), тогда:
\(
x \le m + 1;
\)

Ответ:
\(
x \ge m + 1, \text{ если } m > 1;
\)
\(
x \le m + 1, \text{ если } m < 1;
\)
\(
x \in \mathbb{R}, \text{ если } m = 1.
\)

б) \(
b^2 \cdot x — x + 1 > b;
\)
\(
b^2 \cdot x — x > b — 1;
\)
\(
x(b^2 — 1) > b — 1;
\)
\(
x(b + 1)(b — 1) > b — 1;
\)

Если \(b = -1\), тогда:
\(
0x > -2;
\)
\(
x \in \mathbb{R};
\)

Если \(b = 1\), тогда:
\(
0x > 0;
\)
\(
x \in \emptyset;
\)

Если \(b > 1\), тогда:
\(
x(b + 1) > 1;
\)
\(
x > \frac{1}{b + 1};
\)

Если \(-1 < b < 1\), тогда:
\(
x(b + 1) < 1;
\)
\(
x < \frac{1}{b + 1};
\)

Если \(b < -1\), тогда:
\(
x(b + 1) < 1;
\)
\(
x > \frac{1}{b + 1};
\)

Ответ:
\(
x > \frac{1}{b + 1}, \text{ если } b < -1 \text{ или } b > 1;
\)
\(
x < \frac{1}{b + 1}, \text{ если } -1 < b < 1;
\)
\(
x \in \mathbb{R}, \text{ если } b = -1;
\)
\(
x \in \emptyset, \text{ если } b = 1.
\)

Решить неравенство относительно \(x\):

а) Исходное неравенство:
\(
mx — x + 1 \ge m^2
\)

Переносим \(1\) в правую часть, меняя знак, и группируем подобные слагаемые:
\(
mx — x \ge m^2 — 1
\)

Вынесем \(x\) за скобки в левой части:
\(
x(m — 1) \ge m^2 — 1
\)

Правая часть представляет собой произведение разности квадратов:
\(
m^2 — 1 = (m + 1)(m — 1)
\)

Подставляем это выражение в неравенство:
\(
x(m — 1) \ge (m + 1)(m — 1)
\)

Рассмотрим случай \(m = 1\):
Если \(m = 1\), то \(m — 1 = 0\). Тогда левая часть равна нулю:
\(
0x \ge 0
\)
Это верно для любого \(x\), поэтому
\(
x \in \mathbb{R}
\).

Рассмотрим случай \(m > 1\):
Если \(m > 1\), то \(m — 1 > 0\). Разделим обе части неравенства на \(m — 1\):
\(
x \ge m + 1
\)

Рассмотрим случай \(m < 1\):
Если \(m < 1\), то \(m — 1 < 0\). При делении обеих частей неравенства на \(m — 1\) знак неравенства меняется на противоположный:
\(
x \le m + 1
\)

Ответ:
\(
x \ge m + 1, \text{ если } m > 1;
\)
\(
x \le m + 1, \text{ если } m < 1;
\)
\(
x \in \mathbb{R}, \text{ если } m = 1.
\)

б) Исходное неравенство:
\(
b^2 \cdot x — x + 1 > b
\)

Переносим \(1\) в правую часть, меняя знак, и группируем подобные слагаемые:
\(
b^2 \cdot x — x > b — 1
\)

Вынесем \(x\) за скобки в левой части:
\(
x(b^2 — 1) > b — 1
\)

Раскладываем \(b^2 — 1\) на множители как разность квадратов:
\(
b^2 — 1 = (b + 1)(b — 1)
\)

Подставляем это выражение в неравенство:
\(
x(b + 1)(b — 1) > b — 1
\)

Рассмотрим различные случаи для \(b\):

1. Если \(b = -1\):
Подставляем \(b = -1\) в неравенство. Тогда \(b + 1 = 0\), и левая часть равна нулю:
\(
0x > -2
\)
Это неравенство всегда выполняется, поэтому
\(
x \in \mathbb{R}
\).

2. Если \(b = 1\):
Подставляем \(b = 1\) в неравенство. Тогда \(b — 1 = 0\), и левая часть равна нулю:
\(
0x > 0
\)
Это неравенство невозможно выполнить, поэтому
\(
x \in \emptyset
\).

3. Если \(b > 1\):
Если \(b > 1\), то \(b + 1 > 0\) и \(b — 1 > 0\). Разделим обе части неравенства на \((b + 1)(b — 1)\):
\(
x > \frac{b — 1}{(b + 1)(b — 1)}
\)
Сокращаем \((b — 1)\) в числителе и знаменателе:
\(
x > \frac{1}{b + 1}
\)

4. Если \(-1 < b < 1\):
Если \(-1 < b < 1\), то \(b + 1 > 0\), но \(b — 1 < 0\). При делении обеих частей неравенства на \((b + 1)(b — 1)\) знак неравенства меняется на противоположный:
\(
x < \frac{b — 1}{(b + 1)(b — 1)}
\)
Сокращаем \((b — 1)\) в числителе и знаменателе:
\(
x < \frac{1}{b + 1}
\)

5. Если \(b < -1\):
Если \(b < -1\), то \(b + 1 < 0\) и \(b — 1 < 0\). При делении обеих частей неравенства на \((b + 1)(b — 1)\) знак неравенства сохраняется:
\(
x > \frac{b — 1}{(b + 1)(b — 1)}
\)
Сокращаем \((b — 1)\) в числителе и знаменателе:
\(
x > \frac{1}{b + 1}
\)

Ответ:
\(
x > \frac{1}{b + 1}, \text{ если } b < -1 \text{ или } b > 1;
\)
\(
x < \frac{1}{b + 1}, \text{ если } -1 < b < 1;
\)
\(
x \in \mathbb{R}, \text{ если } b = -1;
\)
\(
x \in \emptyset, \text{ если } b = 1.
\)