Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 60.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
При каких значениях а уравнение ах² + 4х — а + 5 = 0:
а) имеет два различных корня;
б) имеет ровно один корень;
в) не имеет действительных корней?
Дано уравнение с параметром \(a\):
\(ax^2 + 4x — a + 5 = 0;\)
Приведем подобные слагаемые:
\(ax^2 + 4x + (5 — a) = 0;\)
Дискриминант уравнения:
\(D = 4^2 — 4 \cdot a \cdot (5 — a) = 16 — 20a + 4a^2 = 4(a^2 — 5a + 4);\)
а) Уравнение имеет два различных корня, если:
\(a^2 — 5a + 4 > 0;\)
Решим квадратное неравенство:
Дискриминант: \(D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9.\)
Корни квадратного уравнения:
\(a_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1\) и \(a_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4.\)
Решение неравенства:
\((a — 1)(a — 4) > 0;\)
\(a < 1\) или \(a > 4.\)
Если \(a = 0,\) тогда получим линейное уравнение:
\(4x + 5 = 0.\)
Ответ: \(a \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (4; +\infty).\)
б) Уравнение имеет ровно один корень, если:
\(a^2 — 5a + 4 = 0;\)
Решим квадратное уравнение:
Дискриминант: \(D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9.\)
Корни квадратного уравнения:
\(a_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1\) и \(a_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4.\)
Если \(a = 0,\) тогда получим линейное уравнение:
\(4x + 5 = 0.\)
Ответ: \(a \in \{0; 1; 4\}.\)
в) Уравнение не имеет действительных корней, если:
\(a^2 — 5a + 4 < 0;\)
Решим квадратное неравенство:
Дискриминант: \(D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9.\)
Корни квадратного уравнения:
\(a_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1\) и \(a_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4.\)
Решение неравенства:
\((a — 1)(a — 4) < 0;\)
\(1 < a < 4.\)
Ответ: \(a \in (1; 4).\)
Дано уравнение с параметром \(a\):
\(ax^2 + 4x — a + 5 = 0.\)
Приведем подобные слагаемые в уравнении:
\(ax^2 + 4x + (5 — a) = 0.\)
Это квадратное уравнение имеет вид:
\(Ax^2 + Bx + C = 0,\)
где:
- \(A = a\),
- \(B = 4,\)
- \(C = 5 — a.\)
Выпишем формулу дискриминанта квадратного уравнения:
\(D = B^2 — 4AC.\)
Подставляем значения коэффициентов:
\(D = 4^2 — 4 \cdot a \cdot (5 — a).\)
Раскроем скобки и упростим выражение:
\(D = 16 — 20a + 4a^2.\)
Вынесем общий множитель \(4\) за скобки:
\(D = 4(a^2 — 5a + 4).\)
Итак, дискриминант равен:
\(D = 4(a^2 — 5a + 4).\)
а) Уравнение имеет два различных корня, если:
Дискриминант должен быть строго положительным:
\(D > 0 \Rightarrow a^2 — 5a + 4 > 0.\)
Рассмотрим квадратное неравенство:
\(a^2 — 5a + 4 > 0.\)
Для решения найдем корни квадратного уравнения:
\(a^2 — 5a + 4 = 0.\)
Выпишем формулу для нахождения корней:
\(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a},\)
где:
- \(A = 1,\)
- \(B = -5,\)
- \(C = 4,\)
- \(D = B^2 — 4AC = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9.\)
Корни уравнения:
\(a_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 3}{2} = 1,\)
\(a_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4.\)
Теперь решим неравенство:
\((a — 1)(a — 4) > 0.\)
Произведение двух множителей больше нуля, если:
- оба множителя положительны (\(a — 1 > 0\) и \(a — 4 > 0\)), то есть \(a > 4\),
- или оба множителя отрицательны (\(a — 1 < 0\) и \(a — 4 < 0\)), то есть \(a < 1\).
Таким образом, решение неравенства:
\(a < 1\) или \(a > 4.\)
Если \(a = 0,\) уравнение становится линейным:
\(4x + 5 = 0.\)
Решение линейного уравнения:
\(x = -\frac{5}{4}.\)
Ответ: \(a \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (4; +\infty).\)
б) Уравнение имеет ровно один корень, если:
Дискриминант равен нулю:
\(D = 0 \Rightarrow a^2 — 5a + 4 = 0.\)
Ранее мы нашли корни этого уравнения:
\(a_1 = 1,\) \(a_2 = 4.\)
Если \(a = 0,\) уравнение становится линейным:
\(4x + 5 = 0.\)
Решение линейного уравнения:
\(x = -\frac{5}{4}.\)
Таким образом, уравнение имеет один корень при следующих значениях параметра:
\(a = 0,\) \(a = 1,\) \(a = 4.\)
Ответ: \(a \in \{0; 1; 4\}.\)
в) Уравнение не имеет действительных корней, если:
Дискриминант меньше нуля:
\(D < 0 \Rightarrow a^2 — 5a + 4 < 0.\)
Решим квадратное неравенство:
\((a — 1)(a — 4) < 0.\)
Произведение двух множителей меньше нуля, если:
один из множителей положителен, а второй отрицателен:
- \(a — 1 > 0\) и \(a — 4 < 0,\) то есть \(1 < a < 4.\)
Таким образом, уравнение не имеет действительных корней, если:
\(1 < a < 4.\)
Ответ: \(a \in (1; 4).\)
