Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 60.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
При каком значении а:
а) прямая у = 6x + а касается графика функции у = х²;
б) прямая у = 4х имеет только одну общую точку с графиком функции у = х² + а?
При каком значении \(a\):
а) Прямая \(y = 6x + a\) касается графика функции \(y = x^2\):
\(6x + a = x^2;\)
\(x^2 — 6x — a = 0;\)
\(D = 6^2 + 4 \cdot a = 36 + 4a = 4(9 + a);\)
Есть только одна общая точка:
\(9 + a = 0;\)
\(a = -9.\)
Ответ: \(-9.\)
б) Прямая \(y = 4x\) касается графика функции \(y = x^2 + a\):
\(4x = x^2 + a;\)
\(x^2 — 4x + a = 0;\)
\(D = 4^2 — 4 \cdot a = 16 — 4a = 4(4 — a);\)
Есть только одна общая точка:
\(4 — a = 0;\)
\(a = 4.\)
Ответ: \(4.\)
При каком значении \(a\):
а) Прямая \(y = 6x + a\) касается графика функции \(y = x^2\):
Уравнение прямой и параболы:
\(y = 6x + a\) и \(y = x^2.\)
Для нахождения точек пересечения нужно приравнять эти два уравнения:
\(6x + a = x^2.\)
Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:
\(x^2 — 6x — a = 0.\)
Это квадратное уравнение имеет вид:
\(Ax^2 + Bx + C = 0,\)
где:
- \(A = 1,\)
- \(B = -6,\)
- \(C = -a.\)
Чтобы прямая касалась параболы, уравнение должно иметь ровно один корень. Это возможно, если дискриминант равен нулю:
\(D = 0.\)
Формула дискриминанта квадратного уравнения:
\(D = B^2 — 4AC.\)
Подставим значения коэффициентов \(A\), \(B\), \(C\):
\(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-a).\)
\(D = 36 + 4a.\)
Для касания параболы и прямой:
\(D = 0 \Rightarrow 36 + 4a = 0.\)
Решим уравнение относительно \(a\):
\(4a = -36.\)
\(a = -\frac{36}{4} = -9.\)
Ответ: \(a = -9.\)
б) Прямая \(y = 4x\) касается графика функции \(y = x^2 + a\):
Уравнение прямой и параболы:
\(y = 4x\) и \(y = x^2 + a.\)
Для нахождения точек пересечения нужно приравнять эти два уравнения:
\(4x = x^2 + a.\)
Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:
\(x^2 — 4x + a = 0.\)
Это квадратное уравнение имеет вид:
\(Ax^2 + Bx + C = 0,\)
где:
- \(A = 1,\)
- \(B = -4,\)
- \(C = a.\)
Чтобы прямая касалась параболы, уравнение должно иметь ровно один корень. Это возможно, если дискриминант равен нулю:
\(D = 0.\)
Формула дискриминанта квадратного уравнения:
\(D = B^2 — 4AC.\)
Подставим значения коэффициентов \(A\), \(B\), \(C\):
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot a.\)
\(D = 16 — 4a.\)
Для касания параболы и прямой:
\(D = 0 \Rightarrow 16 — 4a = 0.\)
Решим уравнение относительно \(a\):
\(4a = 16.\)
\(a = \frac{16}{4} = 4.\)
Ответ: \(a = 4.\)
