Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 60.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
При каких значениях b графики функций имеют общие точки:
а) у = х² — 4х + 2 и у = -2х + b;
б) у = х² + 6x + 7 и у = 2х + b?
При каких значениях b графики функций имеют общие точки:
а) \(y = x^2 — 4x + 2\) и \(y = -2x + b\);
Абсциссы точек пересечения:
\(x^2 — 4x + 2 = -2x + b\);
\(x^2 — 2x + (2 — b) = 0\);
\(D = 2^2 — 4 \cdot (2 — b) = 4 — 8 + 4b = 4b — 4\);
Уравнение имеет решения при:
\(4b — 4 \geq 0\);
\(b — 1 \geq 0\);
\(b \geq 1\);
Ответ: \(b \in [1; +\infty)\).
б) \(y = x^2 + 6x + 7\) и \(y = 2x + b\);
Абсциссы точек пересечения:
\(x^2 + 6x + 7 = 2x + b\);
\(x^2 + 4x + (7 — b) = 0\);
\(D = 4^2 — 4 \cdot (7 — b) = 16 — 28 + 4b = 4b — 12\);
Уравнение имеет решения при:
\(4b — 12 \geq 0\);
\(b — 3 \geq 0\);
\(b \geq 3\);
Ответ: \(b \in [3; +\infty)\).
При каких значениях \(b\) графики функций имеют общие точки:
а) \(y = x^2 — 4x + 2\) и \(y = -2x + b\);
1. Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций:
Для этого приравняем правые части уравнений:
\(x^2 — 4x + 2 = -2x + b\).
2. Перенесем все члены в одну часть уравнения:
\(x^2 — 4x + 2 + 2x — b = 0\).
3. Приведем подобные члены:
\(x^2 — 2x + (2 — b) = 0\).
4. Это квадратное уравнение имеет вид:
\(ax^2 + bx + c = 0\), где:
- \(a = 1\);
- \(b = -2\);
- \(c = 2 — b\).
5. Для нахождения решений квадратного уравнения воспользуемся дискриминантом:
\(D = b^2 — 4ac\).
6. Подставим значения коэффициентов:
\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (2 — b)\).
7. Выполним вычисления:
\(D = 4 — 4 \cdot (2 — b)\);
\(D = 4 — 8 + 4b\);
\(D = 4b — 4\).
8. Уравнение имеет решения, если дискриминант \(D \geq 0\):
\(4b — 4 \geq 0\).
9. Решим неравенство:
\(4b \geq 4\);
\(b \geq 1\).
10. Таким образом, графики функций имеют общие точки при:
\(b \in [1; +\infty)\).
б) \(y = x^2 + 6x + 7\) и \(y = 2x + b\);
1. Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций:
Для этого приравняем правые части уравнений:
\(x^2 + 6x + 7 = 2x + b\).
2. Перенесем все члены в одну часть уравнения:
\(x^2 + 6x + 7 — 2x — b = 0\).
3. Приведем подобные члены:
\(x^2 + 4x + (7 — b) = 0\).
4. Это квадратное уравнение имеет вид:
\(ax^2 + bx + c = 0\), где:
- \(a = 1\);
- \(b = 4\);
- \(c = 7 — b\).
5. Для нахождения решений квадратного уравнения воспользуемся дискриминантом:
\(D = b^2 — 4ac\).
6. Подставим значения коэффициентов:
\(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (7 — b)\).
7. Выполним вычисления:
\(D = 16 — 4 \cdot (7 — b)\);
\(D = 16 — 28 + 4b\);
\(D = 4b — 12\).
8. Уравнение имеет решения, если дискриминант \(D \geq 0\):
\(4b — 12 \geq 0\).
9. Решим неравенство:
\(4b \geq 12\);
\(b \geq 3\).
10. Таким образом, графики функций имеют общие точки при:
\(b \in [3; +\infty)\).
