Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 60.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
При каких значениях а система уравнений имеет решения:
а) \( \begin{cases} y = 2x^2 — 5x + 1 \\ y = 3x + a \end{cases} \);
б) \( \begin{cases} y = 3x^2 — 4x — 2 \\ y = -10x + a \end{cases} \)
При каких значениях \( a \) система уравнений имеет решения:
а) \( \begin{cases} y = 2x^2 — 5x + 1 \\ y = 3x + a \end{cases} \);
Решения системы неравенств:
\( 2x^2 — 5x + 1 = 3x + a; \)
\( 2x^2 — 8x + (1 — a) = 0; \)
\( D = 8^2 — 4 \cdot 2 \cdot (1 — a) = 64 — 8 + 8a = 56 + 8a; \)
Уравнение имеет решения при:
\( 56 + 8a \geq 0; \)
\( 7 + a \geq 0; \)
\( a \geq -7; \)
Ответ: \( a \in [-7; +\infty). \)
б) \( \begin{cases} y = 3x^2 — 4x — 2 \\ y = -10x + a \end{cases} \);
Решения системы неравенств:
\( 3x^2 — 4x — 2 = -10x + a; \)
\( 3x^2 + 6x — (2 + a) = 0; \)
\( D = 6^2 + 4 \cdot 3 \cdot (2 + a) = 36 + 24 + 12a = 60 + 12a; \)
Уравнение имеет решения при:
\( 60 + 12a \geq 0; \)
\( 5 + a \geq 0; \)
\( a \geq -5; \)
Ответ: \( a \in [-5; +\infty). \)
Необходимо определить, при каких значениях параметра \(a\) система уравнений имеет решения. Рассмотрим каждую систему по отдельности.
а) Система уравнений:
\(
\begin{cases}
y = 2x^2 — 5x + 1, \\
y = 3x + a.
\end{cases}
\)
Шаг 1: Приравниваем правые части уравнений
Для того чтобы найти точки пересечения графиков функций, приравниваем правые части:
\(
2x^2 — 5x + 1 = 3x + a.
\)
Шаг 2: Перенос всех членов в одну сторону
Переносим все члены уравнения в левую часть:
\(
2x^2 — 5x + 1 — 3x — a = 0.
\)
Упрощаем выражение:
\(
2x^2 — 8x + (1 — a) = 0.
\)
Шаг 3: Исследование квадратного уравнения
Получили квадратное уравнение относительно \(x\):
\(
2x^2 — 8x + (1 — a) = 0.
\)
Для того чтобы это уравнение имело решения, его дискриминант \(D\) должен быть неотрицательным:
\(
D \geq 0.
\)
Шаг 4: Вычисление дискриминанта
Дискриминант квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле:
\(
D = b^2 — 4ac.
\)
В нашем случае:
- \(a = 2\),
- \(b = -8\),
- \(c = 1 — a\).
Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:
\(
D = (-8)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (1 — a).
\)
Вычисляем:
\(
D = 64 — 8 \cdot (1 — a).
\)
Раскрываем скобки:
\(
D = 64 — 8 + 8a.
\)
Упрощаем:
\(
D = 56 + 8a.
\)
Шаг 5: Условие существования решений
Квадратное уравнение имеет решения, если \(D \geq 0\). Таким образом:
\(
56 + 8a \geq 0.
\)
Шаг 6: Решение неравенства
Решаем неравенство:
\(
56 + 8a \geq 0.
\)
Вычитаем 56 из обеих частей:
\(
8a \geq -56.
\)
Делим обе части на 8:
\(
a \geq -7.
\)
Ответ для пункта а):
Система уравнений имеет решения при:
\(
{a \in [-7; +\infty)}.
\)
б) Система уравнений:
\(
\begin{cases}
y = 3x^2 — 4x — 2, \\
y = -10x + a.
\end{cases}
\)
Шаг 1: Приравниваем правые части уравнений
Для того чтобы найти точки пересечения графиков функций, приравниваем правые части:
\(
3x^2 — 4x — 2 = -10x + a.
\)
Шаг 2: Перенос всех членов в одну сторону
Переносим все члены уравнения в левую часть:
\(
3x^2 — 4x — 2 + 10x — a = 0.
\)
Упрощаем выражение:
\(
3x^2 + 6x — (2 + a) = 0.
\)
Шаг 3: Исследование квадратного уравнения
Получили квадратное уравнение относительно \(x\):
\(
3x^2 + 6x — (2 + a) = 0.
\)
Для того чтобы это уравнение имело решения, его дискриминант \(D\) должен быть неотрицательным:
\(
D \geq 0.
\)
Шаг 4: Вычисление дискриминанта
Дискриминант квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле:
\(
D = b^2 — 4ac.
\)
В нашем случае:
- \(a = 3\),
- \(b = 6\),
- \(c = -(2 + a)\).
Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-(2 + a)).
\)
Вычисляем:
\(
D = 36 + 12 \cdot (2 + a).
\)
Раскрываем скобки:
\(
D = 36 + 24 + 12a.
\)
Упрощаем:
\(
D = 60 + 12a.
\)
Шаг 5: Условие существования решений
Квадратное уравнение имеет решения, если \(D \geq 0\). Таким образом:
\(
60 + 12a \geq 0.
\)
Шаг 6: Решение неравенства
Решаем неравенство:
\(
60 + 12a \geq 0.
\)
Вычитаем 60 из обеих частей:
\(
12a \geq -60.
\)
Делим обе части на 12:
\(
a \geq -5.
\)
Ответ для пункта б):
Система уравнений имеет решения при:
\(
{a \in [-5; +\infty)}.
\)
Итоговые ответы:
\(
\text{а) } {a \in [-7; +\infty)}, \quad \text{б) } {a \in [-5; +\infty)}.
\)
