ГДЗ 10-11 Класс Номер 7.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:

а) $\operatorname{ctg} t = \frac{12}{5}$, где $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$;

б) $\operatorname{ctg} t = \frac{7}{24}$, где $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

в) $\operatorname{ctg} t = -\frac{5}{12}$, где $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$;

г) $\operatorname{ctg} t = -\frac{8}{15}$, где $\frac{\pi}{2} < t < \pi$

Найти значения остальных тригонометрических функций:

а) $\operatorname{ctg} t = \frac{12}{5}$, где $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$;

Точка $t$ принадлежит третьей четверти:

$$\sin t = -\sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t}} = -\sqrt{\frac{1}{\frac{25}{25} + \frac{144}{25}}} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13};$$ $$\cos t = \operatorname{ctg} t \cdot \sin t = \frac{12}{5} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{12}{13};$$ $$\tg t = \frac{1}{\operatorname{ctg} t} = \frac{5}{12};$$

Ответ: $\sin t = -\frac{5}{13}; \, \cos t = -\frac{12}{13}; \, \tg t = \frac{5}{12}.$

б) $\operatorname{ctg} t = \frac{7}{24}$, где $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

Точка $t$ принадлежит первой четверти:

$$\sin t = +\sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{576}{576} + \frac{49}{576}}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25};$$ $$\cos t = \operatorname{ctg} t \cdot \sin t = \frac{7}{24} \cdot \frac{24}{25} = \frac{7}{25};$$ $$\tg t = \frac{1}{\operatorname{ctg} t} = \frac{24}{7};$$

Ответ: $\sin t = \frac{24}{25}; \, \cos t = \frac{7}{25}; \, \tg t = \frac{24}{7}.$

в) $\operatorname{ctg} t = -\frac{5}{12}$, где $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$;

Точка $t$ принадлежит четвертой четверти:

$$\sin t = -\sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t}} = -\sqrt{\frac{1}{\frac{144}{144} + \frac{25}{144}}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13};$$ $$\cos t = \operatorname{ctg} t \cdot \sin t = -\frac{5}{12} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = \frac{5}{13};$$ $$\tg t = \frac{1}{\operatorname{ctg} t} = -\frac{12}{5};$$

Ответ: $\sin t = -\frac{12}{13}; \, \cos t = \frac{5}{13}; \, \tg t = -\frac{12}{5}.$

г) $\operatorname{ctg} t = -\frac{8}{15}$, где $\frac{\pi}{2} < t < \pi$;

Точка $t$ принадлежит второй четверти:

$$\sin t = +\sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{225}{225} + \frac{64}{225}}} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17};$$ $$\cos t = \operatorname{ctg} t \cdot \sin t = -\frac{8}{15} \cdot \frac{15}{17} = -\frac{8}{17};$$ $$\tg t = \frac{1}{\operatorname{ctg} t} = -\frac{15}{8};$$

Ответ: $\sin t = \frac{15}{17}; \, \cos t = -\frac{8}{17}; \, \tg t = -\frac{15}{8}.$

а) $\operatorname{ctg} t = \frac{12}{5}$, где $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$;

Точка $t$ лежит в третьей четверти, где синус и косинус оба отрицательны.

Шаг 1: Находим $\sin t$ через выражение для котангенса.

Котангенс определяется как отношение косинуса к синусу:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$$

Из этого выражения можем выразить $\cos t$ через $\sin t$:

$$\cos t = \operatorname{ctg} t \cdot \sin t = \frac{12}{5} \cdot \sin t$$

Теперь используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Подставляем $\cos t = \frac{12}{5} \cdot \sin t$ в это тождество:

$$\sin^2 t + \left( \frac{12}{5} \cdot \sin t \right)^2 = 1$$

Преобразуем:

$$\sin^2 t + \frac{144}{25} \cdot \sin^2 t = 1$$

Вынесем $\sin^2 t$ за скобки:

$$\left( 1 + \frac{144}{25} \right) \cdot \sin^2 t = 1$$

Преобразуем:

$$\frac{25}{25} + \frac{144}{25} = \frac{169}{25}$$

Теперь решим относительно $\sin^2 t$:

$$\frac{169}{25} \cdot \sin^2 t = 1$$ $$\sin^2 t = \frac{25}{169}$$

Извлекаем квадратный корень:

$$\sin t = -\frac{5}{13}$$

Знак минус взят, потому что точка $t$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен.

Ответ: $\sin t = -\frac{5}{13}$.

Шаг 2: Находим $\cos t$.

Теперь, зная $\sin t = -\frac{5}{13}$, можем найти $\cos t$, используя выражение $\cos t = \frac{12}{5} \cdot \sin t$:

$$\cos t = \frac{12}{5} \cdot \left( -\frac{5}{13} \right) = -\frac{12}{13}$$

Ответ: $\cos t = -\frac{12}{13}$.

Шаг 3: Находим $\tg t$.

Тангенс — это отношение синуса к косинусу:

$$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$$

Подставляем найденные значения $\sin t = -\frac{5}{13}$ и $\cos t = -\frac{12}{13}$:

$$\tg t = \frac{-\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}$$

Ответ: $\tg t = \frac{5}{12}$.

Ответ для пункта а:

$$\sin t = -\frac{5}{13}; \quad \cos t = -\frac{12}{13}; \quad \tg t = \frac{5}{12}$$

б) $\operatorname{ctg} t = \frac{7}{24}$, где $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

Точка $t$ лежит в первой четверти, где синус и косинус оба положительны.

Шаг 1: Находим $\sin t$ через выражение для котангенса.

Используем формулу для котангенса:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$$

Из этого выражения можем выразить $\cos t$ через $\sin t$:

$$\cos t = \operatorname{ctg} t \cdot \sin t = \frac{7}{24} \cdot \sin t$$

Теперь используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Подставляем $\cos t = \frac{7}{24} \cdot \sin t$ в это тождество:

$$\sin^2 t + \left( \frac{7}{24} \cdot \sin t \right)^2 = 1$$

Преобразуем:

$$\sin^2 t + \frac{49}{576} \cdot \sin^2 t = 1$$

Вынесем $\sin^2 t$ за скобки:

$$\left( 1 + \frac{49}{576} \right) \cdot \sin^2 t = 1$$

Преобразуем:

$$\frac{576}{576} + \frac{49}{576} = \frac{625}{576}$$

Теперь решим относительно $\sin^2 t$:

$$\frac{625}{576} \cdot \sin^2 t = 1$$ $$\sin^2 t = \frac{576}{625}$$

Извлекаем квадратный корень:

$$\sin t = \frac{24}{25}$$

Так как точка $t$ лежит в первой четверти, синус положительный.

Ответ: $\sin t = \frac{24}{25}$.

Шаг 2: Находим $\cos t$.

Теперь, зная $\sin t = \frac{24}{25}$, можем найти $\cos t$, используя выражение $\cos t = \frac{7}{24} \cdot \sin t$:

$$\cos t = \frac{7}{24} \cdot \frac{24}{25} = \frac{7}{25}$$

Ответ: $\cos t = \frac{7}{25}$.

Шаг 3: Находим $\tg t$.

Тангенс — это отношение синуса к косинусу:

$$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$$

Подставляем найденные значения $\sin t = \frac{24}{25}$ и $\cos t = \frac{7}{25}$:

$$\tg t = \frac{\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = \frac{24}{7}$$

Ответ: $\tg t = \frac{24}{7}$.

Ответ для пункта б:

$$\sin t = \frac{24}{25}; \quad \cos t = \frac{7}{25}; \quad \tg t = \frac{24}{7}$$

в) $\operatorname{ctg} t = -\frac{5}{12}$, где $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$;

Точка $t$ лежит в четвертой четверти, где синус отрицателен, а косинус положителен.

Шаг 1: Находим $\sin t$ через выражение для котангенса.

Используем формулу для котангенса:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$$

Из этого выражения можем выразить $\cos t$ через $\sin t$:

$$\cos t = \operatorname{ctg} t \cdot \sin t = -\frac{5}{12} \cdot \sin t$$

Теперь используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Подставляем $\cos t = -\frac{5}{12} \cdot \sin t$ в это тождество:

$$\sin^2 t + \left( -\frac{5}{12} \cdot \sin t \right)^2 = 1$$

Преобразуем:

$$\sin^2 t + \frac{25}{144} \cdot \sin^2 t = 1$$

Вынесем $\sin^2 t$ за скобки:

$$\left( 1 + \frac{25}{144} \right) \cdot \sin^2 t = 1$$

Преобразуем:

$$\frac{144}{144} + \frac{25}{144} = \frac{169}{144}$$

Теперь решим относительно $\sin^2 t$:

$$\frac{169}{144} \cdot \sin^2 t = 1$$ $$\sin^2 t = \frac{144}{169}$$

Извлекаем квадратный корень:

$$\sin t = -\frac{12}{13}$$

Знак минус взят, потому что точка $t$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен.

Ответ: $\sin t = -\frac{12}{13}$.

Шаг 2: Находим $\cos t$.

Теперь, зная $\sin t = -\frac{12}{13}$, можем найти $\cos t$, используя выражение $\cos t = -\frac{5}{12} \cdot \sin t$:

$$\cos t = -\frac{5}{12} \cdot \left( -\frac{12}{13} \right) = \frac{5}{13}$$

Ответ: $\cos t = \frac{5}{13}$.

Шаг 3: Находим $\tg t$.

Тангенс — это отношение синуса к косинусу:

$$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$$

Подставляем найденные значения $\sin t = -\frac{12}{13}$ и $\cos t = \frac{5}{13}$:

$$\tg t = \frac{-\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = -\frac{12}{5}$$

Ответ: $\tg t = -\frac{12}{5}$.

Ответ для пункта в:

$$\sin t = -\frac{12}{13}; \quad \cos t = \frac{5}{13}; \quad \tg t = -\frac{12}{5}$$

г) $\operatorname{ctg} t = -\frac{8}{15}$, где $\frac{\pi}{2} < t < \pi$;

Точка $t$ лежит во второй четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен.

Шаг 1: Находим $\sin t$ через выражение для котангенса.

Используем формулу для котангенса:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$$

Из этого выражения можем выразить $\cos t$ через $\sin t$:

$$\cos t = \operatorname{ctg} t \cdot \sin t = -\frac{8}{15} \cdot \sin t$$

Теперь используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Подставляем $\cos t = -\frac{8}{15} \cdot \sin t$ в это тождество:

$$\sin^2 t + \left( -\frac{8}{15} \cdot \sin t \right)^2 = 1$$

Преобразуем:

$$\sin^2 t + \frac{64}{225} \cdot \sin^2 t = 1$$

Вынесем $\sin^2 t$ за скобки:

$$\left( 1 + \frac{64}{225} \right) \cdot \sin^2 t = 1$$

Преобразуем:

$$\frac{225}{225} + \frac{64}{225} = \frac{289}{225}$$

Теперь решим относительно $\sin^2 t$:

$$\frac{289}{225} \cdot \sin^2 t = 1$$ $$\sin^2 t = \frac{225}{289}$$

Извлекаем квадратный корень:

$$\sin t = \frac{15}{17}$$

Так как точка $t$ лежит во второй четверти, синус положительный.

Ответ: $\sin t = \frac{15}{17}$.

Шаг 2: Находим $\cos t$.

Теперь, зная $\sin t = \frac{15}{17}$, можем найти $\cos t$, используя выражение $\cos t = -\frac{8}{15} \cdot \sin t$:

$$\cos t = -\frac{8}{15} \cdot \frac{15}{17} = -\frac{8}{17}$$

Ответ: $\cos t = -\frac{8}{17}$.

Шаг 3: Находим $\tg t$.

Тангенс — это отношение синуса к косинусу:

$$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$$

Подставляем найденные значения $\sin t = \frac{15}{17}$ и $\cos t = -\frac{8}{17}$:

$$\tg t = \frac{\frac{15}{17}}{-\frac{8}{17}} = -\frac{15}{8}$$

Ответ: $\tg t = -\frac{15}{8}$.

Ответ для пункта г:

$$\sin t = \frac{15}{17}; \quad \cos t = -\frac{8}{17}; \quad \tg t = -\frac{15}{8}$$