ГДЗ 10-11 Класс Номер 7.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а)

$$\frac{1 — \sin^2 t}{1 — \cos^2 t} + \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} + 1 = \frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\sin^2 t} = \frac{1}{\sin^2 t}$$

б)

$$\frac{{\cos }^{2}t-{\mathrm{ctg}}^{2}t}{{\sin }^{2}t-{\mathrm{tg}}^{2}t}$$

а)

$$\frac{1 — \sin^2 t}{1 — \cos^2 t} + \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} + 1 = \frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\sin^2 t} = \frac{1}{\sin^2 t}$$

Ответ: $\frac{1}{\sin^2 t}$.

б)

$$\frac{\cos^2 t — \operatorname{ctg}^2 t}{\sin^2 t — \operatorname{tg}^2 t} = \frac{\cos^2 t — \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}}{\sin^2 t — \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}} = \frac{\cos^4 t \cdot \sin^2 t — \cos^4 t}{\cos^2 t \cdot \sin^4 t — \sin^4 t}$$ $$= \frac{\cos^4 t \cdot (\sin^2 t — 1)}{\sin^4 t \cdot (\cos^2 t — 1)} = \operatorname{ctg}^4 t \cdot \frac{1 — \sin^2 t}{1 — \cos^2 t} = \operatorname{ctg}^4 t \cdot \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$$ $$= \operatorname{ctg}^4 t \cdot \operatorname{ctg}^2 t = \operatorname{ctg}^6 t$$

Ответ: $\operatorname{ctg}^6 t$.

а)

Необходимо упростить выражение:

$$\frac{1 — \sin^2 t}{1 — \cos^2 t} + \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t$$

Шаг 1: Преобразуем дробь $\frac{1 — \sin^2 t}{1 — \cos^2 t}$

Используем тождество Пифагора:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Следовательно, можем выразить $1 — \sin^2 t = \cos^2 t$ и $1 — \cos^2 t = \sin^2 t$.

Таким образом, дробь становится:

$$\frac{1 — \sin^2 t}{1 — \cos^2 t} = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$$

Шаг 2: Упростим выражение $\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t$

Вспоминаем определения тригонометрических функций:

$$\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}, \quad \operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$$

Тогда:

$$\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \frac{\cos t}{\sin t} = 1$$

Шаг 3: Подставим результаты в исходное выражение

Теперь подставим все, что мы упростили, в исходное выражение:

$$\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} + 1$$

Шаг 4: Приведем к общему знаменателю

Для того чтобы сложить дробь с 1, приведем 1 к общему знаменателю $\sin^2 t$:

$$1 = \frac{\sin^2 t}{\sin^2 t}$$

Теперь можно сложить дроби:

$$\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} + \frac{\sin^2 t}{\sin^2 t} = \frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\sin^2 t}$$

Шаг 5: Используем тождество Пифагора

Из тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ можно заменить числитель на 1:

$$\frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\sin^2 t} = \frac{1}{\sin^2 t}$$

Ответ:

$$\frac{1}{\sin^2 t}$$

б)

Необходимо упростить выражение:

$$\frac{\cos^2 t — \operatorname{ctg}^2 t}{\sin^2 t — \operatorname{tg}^2 t}$$

Шаг 1: Подставим определения тригонометрических функций

Для начала вспомним определения:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}, \quad \operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$$

Таким образом:

$$\operatorname{ctg}^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}, \quad \operatorname{tg}^2 t = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$$

Теперь подставим эти выражения в исходное выражение:

$$\frac{\cos^2 t — \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}}{\sin^2 t — \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}}$$

Шаг 2: Приведем к общему знаменателю числитель и знаменатель

Начнем с числителя. Чтобы вычесть $\cos^2 t$ и $\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$, нужно привести их к общему знаменателю $\sin^2 t$:

$$\cos^2 t = \frac{\cos^2 t \cdot \sin^2 t}{\sin^2 t}$$

Таким образом, числитель будет:

$$\frac{\cos^2 t \cdot \sin^2 t}{\sin^2 t} — \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{\cos^2 t (\sin^2 t — 1)}{\sin^2 t}$$

Теперь займемся знаменателем. Чтобы вычесть $\sin^2 t$ и $\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$, нужно привести их к общему знаменателю $\cos^2 t$:

$$\sin^2 t = \frac{\sin^2 t \cdot \cos^2 t}{\cos^2 t}$$

Тогда знаменатель будет:

$$\frac{\sin^2 t \cdot \cos^2 t}{\cos^2 t} — \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\sin^2 t (\cos^2 t — 1)}{\cos^2 t}$$

Шаг 3: Подставим упрощенные числитель и знаменатель

Теперь получаем выражение:

$$\frac{\frac{\cos^2 t (\sin^2 t — 1)}{\sin^2 t}}{\frac{\sin^2 t (\cos^2 t — 1)}{\cos^2 t}}$$

Шаг 4: Упростим дробь

Для упрощения этой сложной дроби, умножим числитель на обратную дробь знаменателя:

$$\frac{\cos^2 t (\sin^2 t — 1)}{\sin^2 t} \cdot \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t (\cos^2 t — 1)}$$

Теперь упростим это выражение:

$$= \frac{\cos^4 t (\sin^2 t — 1)}{\sin^4 t (\cos^2 t — 1)}$$

Шаг 5: Используем тождество Пифагора

Мы знаем, что $\sin^2 t — 1 = -\cos^2 t$ и $\cos^2 t — 1 = -\sin^2 t$, поэтому подставляем эти тождества:

$$= \frac{\cos^4 t (-\cos^2 t)}{\sin^4 t (-\sin^2 t)} = \frac{-\cos^6 t}{-\sin^6 t}$$

Отсюда получаем:

$$= \frac{\cos^6 t}{\sin^6 t} = \operatorname{ctg}^6 t$$

Ответ:

$$\operatorname{ctg}^6 t$$