ГДЗ 10-11 Класс Номер 7.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $1 + \sin t = \frac{\cos t + \operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t}$;

б) $\frac{1 — \sin t}{\cos t} = \frac{\cos t}{1 + \sin t}$;

в) $\frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = 1 + \cos t$;

г) $\frac{\sin t}{1 — \cos t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}$

Доказать тождество:

а) $1 + \sin t = \frac{\cos t + \operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t}$;

Преобразуем правую часть равенства:

$$\frac{\cos t + \operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t} = \frac{\cos t + \frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{\cos t}{\sin t}} = \frac{\sin t \cdot \cos t + \cos t}{\cos t} =$$ $$= \frac{\cos t \cdot (\sin t + 1)}{\cos t} = \sin t + 1;$$

Тождество доказано.

б) $\frac{1 — \sin t}{\cos t} = \frac{\cos t}{1 + \sin t}$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\frac{1 — \sin t}{\cos t} = \frac{(1 — \sin t)(1 + \sin t)}{\cos t \cdot (1 + \sin t)} = \frac{1 — \sin^2 t}{\cos t \cdot (1 + \sin t)} =$$ $$= \frac{\cos^2 t}{\cos t \cdot (1 + \sin t)} = \frac{\cos t}{1 + \sin t};$$

Тождество доказано.

в) $\frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = 1 + \cos t$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = \frac{\sin t + \frac{\sin t}{\cos t}}{\frac{\sin t}{\cos t}} = \frac{\sin t \cdot \cos t + \sin t}{\sin t} =$$ $$= \frac{\sin t \cdot (\cos t + 1)}{\sin t} = \cos t + 1;$$

Тождество доказано.

г) $\frac{\sin t}{1 — \cos t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\frac{\sin t}{1 — \cos t} = \frac{\sin t \cdot (1 + \cos t)}{(1 — \cos t)(1 + \cos t)} = \frac{\sin t \cdot (1 + \cos t)}{1 — \cos^2 t} =$$ $$= \frac{\sin t \cdot (1 + \cos t)}{\sin^2 t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t};$$

Тождество доказано.

а) $1 + \sin t = \frac{\cos t + \operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t}$;

Решение:

Начнем с правой части выражения $\frac{\cos t + \operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t}$.

Напомним, что $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$, тогда подставим это значение:

$$\frac{\cos t + \operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t} = \frac{\cos t + \frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{\cos t}{\sin t}}.$$

Приведем числитель к общему знаменателю:

$$\cos t + \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\cos t \cdot \sin t}{\sin t} + \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\cos t (\sin t + 1)}{\sin t}.$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\frac{\cos t (\sin t + 1)}{\sin t} \cdot \frac{\sin t}{\cos t}.$$

В результате сокращаются $\cos t$ и $\sin t$:

$$= \sin t + 1.$$

Мы видим, что правая часть равенства теперь равна $\sin t + 1$, что совпадает с левой частью $1 + \sin t$.

Тождество доказано.

б) $\frac{1 — \sin t}{\cos t} = \frac{\cos t}{1 + \sin t}$;

Решение:

Начнем с левой части выражения $\frac{1 — \sin t}{\cos t}$.

Попробуем преобразовать левую часть. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение $1 + \sin t$:

$$\frac{1 — \sin t}{\cos t} \cdot \frac{1 + \sin t}{1 + \sin t} = \frac{(1 — \sin t)(1 + \sin t)}{\cos t \cdot (1 + \sin t)}.$$

В числителе используется формула разности квадратов:

$$(1 — \sin t)(1 + \sin t) = 1 — \sin^2 t.$$

Подставим это в выражение:

$$\frac{1 — \sin^2 t}{\cos t (1 + \sin t)}.$$

Напоминаем, что $1 — \sin^2 t = \cos^2 t$, подставляем:

$$\frac{\cos^2 t}{\cos t (1 + \sin t)}.$$

Сокращаем $\cos t$ в числителе и знаменателе:

$$= \frac{\cos t}{1 + \sin t}.$$

Это совпадает с правой частью равенства, т.е. $\frac{\cos t}{1 + \sin t}$.

Тождество доказано.

в) $\frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = 1 + \cos t$;

Решение:

Начнем с левой части выражения $\frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t}$.

Напоминаем, что $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$, подставим это:

$$\frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = \frac{\sin t + \frac{\sin t}{\cos t}}{\frac{\sin t}{\cos t}}.$$

Приведем числитель к общему знаменателю:

$$\sin t + \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\sin t \cdot \cos t}{\cos t} + \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\sin t (\cos t + 1)}{\cos t}.$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\frac{\sin t (\cos t + 1)}{\cos t} \cdot \frac{\cos t}{\sin t}.$$

Сокращаем $\sin t$ и $\cos t$:

$$= \cos t + 1.$$

Это совпадает с правой частью равенства $1 + \cos t$.

Тождество доказано.

г) $\frac{\sin t}{1 — \cos t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}$;

Решение:

Начнем с левой части выражения $\frac{\sin t}{1 — \cos t}$.

Попробуем преобразовать левую часть. Умножим числитель и знаменатель на $1 + \cos t$:

$$\frac{\sin t}{1 — \cos t} \cdot \frac{1 + \cos t}{1 + \cos t} = \frac{\sin t \cdot (1 + \cos t)}{(1 — \cos t)(1 + \cos t)}.$$

В знаменателе используем формулу разности квадратов:

$$(1 — \cos t)(1 + \cos t) = 1 — \cos^2 t.$$

Подставим это в выражение:

$$\frac{\sin t \cdot (1 + \cos t)}{1 — \cos^2 t}.$$

Напоминаем, что $1 — \cos^2 t = \sin^2 t$, подставляем:

$$\frac{\sin t \cdot (1 + \cos t)}{\sin^2 t}.$$

Сокращаем $\sin t$ в числителе и знаменателе:

$$= \frac{1 + \cos t}{\sin t}.$$

Это совпадает с правой частью равенства $\frac{1 + \cos t}{\sin t}$.

Тождество доказано.