ГДЗ 10-11 Класс Номер 7.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$\frac{(\sin t+\cos t{)}^2-1}{\mathrm{ctg}t-\sin t\cdot \cos t}=2{\mathrm{tg}}^{2}t$$

б)

$${\sin }^{3}t\cdot (1+\mathrm{ctg}t)+{\cos }^{3}t\cdot (1+\mathrm{tg}t)=\sin t+\cos t$$

Доказать тождество:

а)

$$\frac{(\sin t + \cos t)^2 — 1}{\operatorname{ctg} t — \sin t \cdot \cos t} = 2 \operatorname{tg}^2 t;$$ $$\frac{(\sin^2 t + \cos^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t) — (\sin^2 t + \cos^2 t)}{\frac{\cos t}{\sin t} — \sin t \cdot \cos t} = 2 \operatorname{tg}^2 t;$$ $$\frac{2 \sin^2 t \cdot \cos t}{\cos t — \sin^2 t \cdot \cos t} = 2 \operatorname{tg}^2 t;$$ $$\frac{2 \sin^2 t \cdot \cos t}{\cos t \cdot (1 — \sin^2 t)} = 2 \operatorname{tg}^2 t;$$ $$\frac{2 \sin^2 t}{\cos^2 t} = 2 \operatorname{tg}^2 t;$$ $$2 \operatorname{tg}^2 t = 2 \operatorname{tg}^2 t;$$

Тождество доказано.

б)

$$\sin^3 t \cdot (1 + \operatorname{ctg} t) + \cos^3 t \cdot (1 + \operatorname{tg} t) = \sin t + \cos t;$$ $$\sin^3 t \cdot \left(1 + \frac{\cos t}{\sin t}\right) + \cos^3 t \cdot \left(1 + \frac{\sin t}{\cos t}\right) = \sin t + \cos t;$$ $$\sin^3 t \cdot \frac{\sin t + \cos t}{\sin t} + \cos^3 t \cdot \frac{\cos t + \sin t}{\cos t} = \sin t + \cos t;$$ $$\sin^2 t \cdot (\sin t + \cos t) + \cos^2 t \cdot (\cos t + \sin t) = \sin t + \cos t;$$ $$(\sin t + \cos t)(\sin^2 t + \cos^2 t) = \sin t + \cos t;$$ $$\sin t + \cos t = \sin t + \cos t;$$

Тождество доказано.

а)

$$\frac{(\sin t + \cos t)^2 — 1}{\operatorname{ctg} t — \sin t \cdot \cos t} = 2 \operatorname{tg}^2 t;$$

Решение:

Преобразуем числитель.
Начнем с преобразования числителя $(\sin t + \cos t)^2 — 1$. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов:

$$(\sin t + \cos t)^2 — 1 = (\sin t + \cos t)^2 — 1^2 = (\sin t + \cos t — 1)(\sin t + \cos t + 1).$$

Однако, чтобы упростить решение, давайте раскроем квадрат $(\sin t + \cos t)^2$ в явном виде:

$$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + \cos^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t.$$

Так как $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ (треугольное тождество), получаем:

$$(\sin t + \cos t)^2 = 1 + 2 \sin t \cdot \cos t.$$

Тогда числитель:

$$(\sin t + \cos t)^2 — 1 = (1 + 2 \sin t \cdot \cos t) — 1 = 2 \sin t \cdot \cos t.$$

Теперь преобразуем знаменатель.
Знаменатель равен $\operatorname{ctg} t — \sin t \cdot \cos t$. Напоминаем, что $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$, и подставляем это:

$$\frac{\cos t}{\sin t} — \sin t \cdot \cos t.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{\cos t}{\sin t} — \sin t \cdot \cos t = \frac{\cos t — \sin^2 t \cdot \cos t}{\sin t}.$$

В числителе можно вынести $\cos t$:

$$\frac{\cos t (1 — \sin^2 t)}{\sin t}.$$

Напоминаем, что $1 — \sin^2 t = \cos^2 t$, тогда знаменатель становится:

$$\frac{\cos t \cdot \cos^2 t}{\sin t} = \frac{\cos^3 t}{\sin t}.$$

Теперь подставим все это в исходное выражение.
Числитель равен $2 \sin t \cdot \cos t$, а знаменатель — $\frac{\cos^3 t}{\sin t}$. Подставляем в исходную дробь:

$$\frac{2 \sin t \cdot \cos t}{\frac{\cos^3 t}{\sin t}}.$$

Умножаем числитель на обратную дробь знаменателя:

$$= \frac{2 \sin^2 t \cdot \cos t}{\cos^3 t}.$$

Сокращаем $\cos t$ в числителе и знаменателе:

$$= \frac{2 \sin^2 t}{\cos^2 t}.$$

Напоминаем, что $\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \operatorname{tg}^2 t$, и получаем:

$$2 \operatorname{tg}^2 t.$$

Завершаем доказательство.
Мы получили выражение:

$$2 \operatorname{tg}^2 t = 2 \operatorname{tg}^2 t,$$

что доказывает тождество.

Тождество доказано.

б)

$$\sin^3 t \cdot (1 + \operatorname{ctg} t) + \cos^3 t \cdot (1 + \operatorname{tg} t) = \sin t + \cos t;$$

Решение:

Преобразуем выражения в скобках.
Начнем с первого слагаемого:

$$1 + \operatorname{ctg} t = 1 + \frac{\cos t}{\sin t}.$$

И второе слагаемое:

$$1 + \operatorname{tg} t = 1 + \frac{\sin t}{\cos t}.$$

Подставим эти выражения в исходное равенство.
Подставляем полученные выражения в левую часть:

$$\sin^3 t \cdot \left(1 + \frac{\cos t}{\sin t}\right) + \cos^3 t \cdot \left(1 + \frac{\sin t}{\cos t}\right).$$

Раскроем скобки:

$$\sin^3 t \cdot 1 + \sin^3 t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} + \cos^3 t \cdot 1 + \cos^3 t \cdot \frac{\sin t}{\cos t}.$$

Упростим каждый слагаемое:

$$\sin^3 t + \sin^2 t \cdot \cos t + \cos^3 t + \cos^2 t \cdot \sin t.$$

Группируем по общим множителям:

$$(\sin^3 t + \cos^3 t) + (\sin^2 t \cdot \cos t + \cos^2 t \cdot \sin t).$$

Применим формулы для кубов.
Используем формулу для разности кубов:

$$\sin^3 t + \cos^3 t = (\sin t + \cos t)(\sin^2 t — \sin t \cdot \cos t + \cos^2 t).$$

Поскольку $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, это упрощается до:

$$(\sin t + \cos t)(1 — \sin t \cdot \cos t).$$

Второе слагаемое:

$$\sin^2 t \cdot \cos t + \cos^2 t \cdot \sin t = \sin t \cdot \cos t (\sin t + \cos t).$$

Таким образом, левая часть примет вид:

$$(\sin t + \cos t)(1 — \sin t \cdot \cos t) + \sin t \cdot \cos t (\sin t + \cos t).$$

Вынесем общий множитель.
Вынесем $(\sin t + \cos t)$ за скобки:

$$(\sin t + \cos t) \left[ (1 — \sin t \cdot \cos t) + \sin t \cdot \cos t \right].$$

Внутри скобок $(1 — \sin t \cdot \cos t) + \sin t \cdot \cos t = 1$, так что получаем:

$$(\sin t + \cos t) \cdot 1 = \sin t + \cos t.$$

Завершаем доказательство.
Мы получили левую часть, равную $\sin t + \cos t$, что совпадает с правой частью равенства.

Тождество доказано.