ГДЗ 10-11 Класс Номер 7.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $(1-\sin t)(1+\sin t)$

б) ${\cos }^{2}t+1-{\sin }^{2}t$

в) $(1-\cos t)(1+\cos t)$

г) ${\sin }^{2}t+2{\cos }^{2}t-1$

а) $(1-\sin t)(1+\sin t)=1+\sin t-\sin t-{\sin }^{2}t=1-{\sin }^{2}t=$

$=({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)-{\sin }^{2}t={\cos }^{2}t$;

Ответ: ${\cos }^{2}t$.

б) ${\cos }^{2}t+1-{\sin }^{2}t={\cos }^{2}t+({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)-{\sin }^{2}t=2{\cos }^{2}t$;

Ответ: $2{\cos }^{2}t$.

в) $(1-\cos t)(1+\cos t)=1+\cos t-\cos t-{\cos }^{2}t=1-{\cos }^{2}t=$

$=({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)-{\cos }^{2}t={\sin }^{2}t$;

Ответ: ${\sin }^{2}t$.

г) ${\sin }^{2}t+2{\cos }^{2}t-1={\sin }^{2}t+2{\cos }^{2}t-({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)={\cos }^{2}t$;

Ответ: ${\cos }^{2}t$.

а) $(1-\sin t)(1+\sin t)$

Применим формулу разности квадратов:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2\mathrm{.}$$

В нашем случае $a=1$, а $b=\sin t$. Тогда:

$$(1-\sin t)(1+\sin t)=1^2-(\sin t{)}^2=1-{\sin }^{2}t\mathrm{.}$$

Используем основное тригонометрическое тождество:

$${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1.$$

Таким образом:

$$1-{\sin }^{2}t={\cos }^{2}t\mathrm{.}$$

Ответ: ${\cos }^{2}t$.

б) ${\cos }^{2}t+1-{\sin }^{2}t$

Перепишем выражение:

$${\cos }^{2}t+1-{\sin }^{2}t\mathrm{.}$$

Применим основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$. Из этого тождества можно выразить $1$ как ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t$:

$${\cos }^{2}t+1-{\sin }^{2}t={\cos }^{2}t+({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)-{\sin }^{2}t\mathrm{.}$$

Внесём подобные слагаемые:

$${\cos }^{2}t+{\cos }^{2}t=2{\cos }^{2}t\mathrm{.}$$

Ответ: $2{\cos }^{2}t$.

в) $(1-\cos t)(1+\cos t)$

Применим формулу разности квадратов:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2\mathrm{.}$$

В нашем случае $a=1$, а $b=\cos t$. Тогда:

$$(1-\cos t)(1+\cos t)=1^2-(\cos t{)}^2=1-{\cos }^{2}t\mathrm{.}$$

Используем основное тригонометрическое тождество:

$${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1.$$

Таким образом:

$$1-{\cos }^{2}t={\sin }^{2}t\mathrm{.}$$

Ответ: ${\sin }^{2}t$.

г) ${\sin }^{2}t+2{\cos }^{2}t-1$

Перепишем выражение:

$${\sin }^{2}t+2{\cos }^{2}t-1.$$

Применим основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$. Из этого тождества можно выразить ${\cos }^{2}t$ как $1-{\sin }^{2}t$:

$${\sin }^{2}t+2{\cos }^{2}t-1={\sin }^{2}t+2({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)-1.$$

Преобразуем:

$${\sin }^{2}t+2({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)-1={\sin }^{2}t+2{\cos }^{2}t-({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)={\cos }^{2}t\mathrm{.}$$

Ответ: ${\cos }^{2}t$.

Подробное разъяснение шагов:

1. В пункте а использована стандартная формула разности квадратов, которая позволяет легко упростить выражение $(1-\sin t)(1+\sin t)$. Это привело нас к выражению $1-{\sin }^{2}t$, которое мы заменили на ${\cos }^{2}t$ с использованием основного тригонометрического тождества.
2. В пункте б мы преобразовали выражение, добавив и вычитая ${\sin }^{2}t$ в нужных местах, а затем использовали тождество для замены 1 на ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t$, что позволило получить результат $2{\cos }^{2}t$.
3. В пункте в также была применена формула разности квадратов для выражения $(1-\cos t)(1+\cos t)$, и аналогично пункту а мы заменили $1-{\cos }^{2}t$ на ${\sin }^{2}t$.
4. В пункте г мы использовали то же тригонометрическое тождество для упрощения выражения с ${\sin }^{2}t$ и ${\cos }^{2}t$, и в итоге получили ${\cos }^{2}t$.

Каждое преобразование основывается на фундаментальных тригонометрических тождествах, что делает решение достаточно простым и логичным.