ГДЗ 10-11 Класс Номер 7.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\sin t \cdot \cos t = -0,5$, вычислить:

$${\sin }^{4}t+{\cos }^{4}t$$

Известно, что $\sin t \cdot \cos t = -0,5$, вычислить:

$$\sin^4 t + \cos^4 t = \sin^4 t + 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t + \cos^4 t — 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t =$$ $$= (\sin^2 t + \cos^2 t)^2 — 2 (\sin t \cdot \cos t)^2 = 1^2 — 2 \cdot (-0,5)^2 =$$ $$= 1 — 2 \cdot 0,25 = 1 — 0,5 = 0,5;$$

Ответ: $0,5$.

Дано, что $\sin t \cdot \cos t = -0,5$. Необходимо вычислить выражение:

$$\sin^4 t + \cos^4 t.$$

Для этого будем использовать несколько математических преобразований и идентичностей.

Шаг 1: Преобразование исходного выражения

Исходное выражение $\sin^4 t + \cos^4 t$ можно переписать, используя известную формулу для разности квадратов:

$$\sin^4 t + \cos^4 t = (\sin^2 t + \cos^2 t)^2 — 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t.$$

Это преобразование основано на формуле:

$$a^2 + b^2 = (a + b)^2 — 2ab.$$

Заменив $a = \sin^2 t$ и $b = \cos^2 t$, получаем, что:

$$\sin^4 t + \cos^4 t = (\sin^2 t + \cos^2 t)^2 — 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t.$$

Шаг 2: Использование тождеств

Далее, вспомним, что для любого угла $t$ справедливо основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Подставляем это в наше преобразованное выражение:

$$\sin^4 t + \cos^4 t = 1^2 — 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t.$$

Таким образом, упрощаем:

$$\sin^4 t + \cos^4 t = 1 — 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t.$$

Шаг 3: Использование значения $\sin t \cdot \cos t$

В условии задачи нам дано, что $\sin t \cdot \cos t = -0,5$. Теперь можем найти значение $\sin^2 t \cdot \cos^2 t$, возведя данное выражение в квадрат:

$$(\sin t \cdot \cos t)^2 = (-0,5)^2 = 0,25.$$

Шаг 4: Подстановка найденного значения

Теперь подставим это значение в выражение для $\sin^4 t + \cos^4 t$:

$$\sin^4 t + \cos^4 t = 1 — 2 \cdot 0,25.$$

Выполняем вычисления:

$$\sin^4 t + \cos^4 t = 1 — 0,5 = 0,5.$$

Шаг 5: Ответ

Таким образом, окончательный ответ на задачу:

$$\boxed{0,5}.$$