ГДЗ 10-11 Класс Номер 7.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите $\sin t + \cos t$, если $\operatorname{tg} t — \frac{1}{\operatorname{tg} t} = -\frac{7}{12}$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$.

Известно, что $tg t — \frac{1}{tg t} = — \frac{7}{12}$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$, вычислить:

$$\sin t + \cos t;$$

Найдём значение $tg t$:

$$tgt-\frac{1}{tgt}=-\frac{7}{12};$$

$$12\cdot t{g}^{2}t-12=-7\cdot tgt;$$

$$12\cdot t{g}^{2}t+7\cdot tgt-12=0;$$

$$D=7^2\cdot 4\cdot 12\cdot 12=49+576=625,\text{тогда}:$$

$$(tgt{)}_1=\frac{-7-25}{2\cdot 12}=\frac{-32}{24}=-\frac{4}{3};$$

$$tg t — \frac{1}{tg t} = — \frac{7}{12}; 12 \cdot tg^2 t — 12 = — 7 \cdot tg t; 12 \cdot tg^2 t + 7 \cdot tg t — 12 = 0; D = 7^2 \cdot 4 \cdot 12 \cdot 12 = 49 + 576 = 625, тогда: (tg t)_1 = \frac{-7 — 25}{2 \cdot 12} = \frac{-32}{24} = — \frac{4}{3}; (tg t)_2 = \frac{-7 + 25}{2 \cdot 12} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4};$$

Точка $t$ лежит в 1 четвёрти:
$tg t > 0;$
$tg t = \frac{3}{4};$

Значение данного выражения:

$$\cos t = + \sqrt{\frac{1}{1 + tg^2 t}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{16}{16} + \frac{9}{16}}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$ $$\sin t = tg t \cdot \cos t = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5};$$ $$\sin t + \cos t = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5} = 1,4;$$

Ответ: 1,4.

Дано:

$$tg t — \frac{1}{tg t} = — \frac{7}{12}, \quad 0 < t < \frac{\pi}{2}$$

Нужно вычислить:

$$\sin t + \cos t$$

Шаг 1: Найдем значение $tg t$

Начнем с уравнения:

$$tg t — \frac{1}{tg t} = — \frac{7}{12}$$

Предположим, что $x = tg t$. Тогда уравнение преобразуется в:

$$x — \frac{1}{x} = — \frac{7}{12}$$

Умножим обе части на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$$x^2 — 1 = — \frac{7}{12} \cdot x$$

Переносим все в одну сторону:

$$x^2 + \frac{7}{12} \cdot x — 1 = 0$$

Умножим все на 12, чтобы избавиться от дробей:

$$12x^2 + 7x — 12 = 0$$

Теперь решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант рассчитывается по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

Где $a = 12$, $b = 7$, $c = -12$. Подставим значения:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 12 \cdot (-12) = 49 + 576 = 625$$

Теперь найдем корни квадратного уравнения по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения:

$$x = \frac{-7 \pm \sqrt{625}}{2 \cdot 12} = \frac{-7 \pm 25}{24}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$x_1 = \frac{-7 — 25}{24} = \frac{-32}{24} = — \frac{4}{3}$$ $$x_2 = \frac{-7 + 25}{24} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$$

Шаг 2: Определяем, какой из корней верен

Учитывая, что $0 < t < \frac{\pi}{2}$, то $tg t$ должно быть положительным, так как тангенс в первой четверти положителен. Следовательно, берем положительный корень:

$$tg t = \frac{3}{4}$$

Шаг 3: Находим $\sin t$ и $\cos t$

Используем известное соотношение:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Также из определения тангенса $tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$, получаем:

$$tg t = \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{3}{4}$$

Таким образом, можно выразить $\sin t$ через $\cos t$:

$$\sin t = \frac{3}{4} \cdot \cos t$$

Подставим это в основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$$\left( \frac{3}{4} \cdot \cos t \right)^2 + \cos^2 t = 1$$

Упростим:

$$\frac{9}{16} \cdot \cos^2 t + \cos^2 t = 1$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{9}{16} \cdot \cos^2 t + \frac{16}{16} \cdot \cos^2 t = 1$$ $$\frac{25}{16} \cdot \cos^2 t = 1$$

Умножим обе части на 16:

$$25 \cdot \cos^2 t = 16$$

Разделим на 25:

$$\cos^2 t = \frac{16}{25}$$

Таким образом, $\cos t = \frac{4}{5}$, так как $t$ лежит в первой четверти, и $\cos t$ положительное.

Теперь найдем $\sin t$:

$$\sin t = \frac{3}{4} \cdot \cos t = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$$

Шаг 4: Находим значение $\sin t + \cos t$

Теперь, когда мы знаем $\sin t = \frac{3}{5}$ и $\cos t = \frac{4}{5}$, находим их сумму:

$$\sin t + \cos t = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5} = 1.4$$

Ответ:

$$\sin t + \cos t = 1.4$$